Hydrostatische kracht
- Druk op diepte
- p = ρgh
- Kracht op een verticale wand
- F = ρg·hc·A
- Drukpunt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechthoek
- Ic = bH³/12
Waterbouwkunde: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Continuïteit en Bernoulli
- Continuïteit
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Debiet
- Q = A·v
- Oppervlakte van een cirkel
- A = πd²/4
Leidingwrijving en drukhoogteverlies
- Getal van Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Stromingsregime
- laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
- Gemiddelde snelheid
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Plaatselijke verliezen
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Gangbare K-waarden
- intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
- Drukval
- Δp = ρ·g·hf
- Twee open reservoirs
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Vrije uitstroming
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompen en pompvermogen
- Hydraulisch vermogen
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Asvermogen
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrisch vermogen
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Opvoerhoogte van de pomp
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Systeemverliezen
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Stroming in open waterlopen (Manning)
- Formule van Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Debiet
- Q = A·V
- Hydraulische straal
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rechthoek
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezium (taludhelling z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Ronde buis, vol of half vol
- R = D/4
- Benodigd verhang
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Oefenopgaven
1.Hydrostatische krachtGemiddeld
Een verticale rechthoekige schuif van 2 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 1 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische krachtMoeilijk
Een verticale rechthoekige schuif van 1 m breed zit in de wand van een tank met glycerine, met de bovenrand 4 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld
Water stroomt door een horizontale venturimeter met een inlaatdiameter van 150 mm en een keeldiameter van 100 mm. De druk bij de inlaat is 53 kPa hoger dan in de keel. Vind, zonder verliezen, het debiet Q.
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 − p2 = 53 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk
Water stroomt omhoog door een leiding die versmalt van 100 mm naar 50 mm en daarbij 5 m stijgt. In doorsnede 1 is de druk 190 kPa en de snelheid 1 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in doorsnede 2.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 190 kPav1 = 1 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld
Water stroomt met een gemiddelde snelheid van 0,8 m/s door een leiding van 500 m lang met een binnendiameter van 300 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,025 en g = 9,81 m/s². Vind het wrijvingsverlies hf.
V = 0,8 m/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk
Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 400 m lang met een binnendiameter van 300 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,022. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 2 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 2) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Welk niveauverschil Δz tussen de reservoirs geeft een debiet van 120 L/s?
Q = 120 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompen en pompvermogenGemiddeld
Een pomp met een rendement van 80% levert 40 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 72 m. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het benodigde asvermogen Pshaft, in kW.
Q = 40 L/sH = 72 mη = 80%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompen en pompvermogenMoeilijk
Een pomp verplaatst 50 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 8 m hoger ligt. De leiding is 400 m lang met een binnendiameter van 150 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,025; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 5 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². Het pomprendement is 85%. Vind het asvermogen Pshaft in kW.
Q = 50 L/sΔz = 8 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 5η = 85%
Pshaft = kW
9.Stroming in open waterlopen (Manning)Gemiddeld
Een trapeziumvormig kanaal van grond met grasbekleding heeft een bodembreedte van 3,5 m en taluds van 1,5:1 (horizontaal:verticaal). Water stroomt eenparig 0,5 m diep. Manning-n = 0,03 en het bodemverhang is S = 0,003. Vind het debiet Q in m³/s.
b = 3,5 my = 0,5 mz = 1,5n = 0,03S = 0,003
Q = m³/s
10.Stroming in open waterlopen (Manning)Moeilijk
Een betonnen riool met een binnendiameter van 200 mm (Manning-n = 0,013) moet bij net volle stroming een zelfreinigende snelheid van 0,6 m/s halen. Vind het minimale verhang S (in m/m).
D = 200 mmn = 0,013V = 0,6 m/s
S = m/m
3Oplossingen
1.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 78,48 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·4 = 78,48 kN
Antwoord
F = 78,48 kN
2.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 55,62 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·4,5·1 = 55,62 kN
Antwoord
F = 55,62 kN
3.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: Q = 90,27 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuïteit
v1 = v2·(100/150)² = 0,4444·v2
Bernoulli tussen inlaat en keel
De leiding is horizontaal, dus alleen druk en snelheid veranderen.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·53000/(1000·(1 − 0,1975))) = 11,49 m/s
v1 = 5,108 m/s
Debiet
Q = A2·v2 = 0,007854·11,49 = 0,09027 m³/s = 90,27 L/s
Antwoord
Q = 90,27 L/s
4.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: p2 = 133,4 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Continuïteit en Bernoulli
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(100/50)² = 4 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7,5 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 190 + (−7,5) − 49,05 = 133,4 kPa
Antwoord
p2 = 133,4 kPa
5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: hf = 1,359 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Snelheidshoogte
V²/(2g) = 0,8²/(2·9,81) = 0,03262 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(500/0,3)·0,8²/(2·9,81) = 1,359 m
Antwoord
hf = 1,359 m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: Δz = 4,911 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Snelheid
V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s
V²/(2g) = 0,1469 m
Verliescoëfficiënten
f·L/D = 0,022·400/0,3 = 29,33
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1
Totaal drukhoogteverlies
hf = 29,33·0,1469 = 4,309 m
hm = 4,1·0,1469 = 0,6023 m
Δz = hf + hm = 4,911 m
Antwoord
Δz = 4,911 m
7.Pompen en pompvermogen
Antwoord: Pshaft = 35,32 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Hydraulisch vermogen
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·72 = 28,25 kW
Asvermogen
Pshaft = Ph/η = 28,25/0,8 = 35,32 kW
Antwoord
Pshaft = 35,32 kW
8.Pompen en pompvermogen
Antwoord: Pshaft = 21,49 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Snelheid
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Drukhoogteverliezen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (66,67 + 5)·0,408 = 29,24 m
Opvoerhoogte van de pomp
H = Δz + hL = 8 + 29,24 = 37,24 m
Asvermogen
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·37,24/0,85 = 21,49 kW
Antwoord
Pshaft = 21,49 kW
9.Stroming in open waterlopen (Manning)
Antwoord: Q = 2,109 m³/s
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Geometrie
A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1,5·0,5)·0,5 = 2,125 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·0,5·√(1 + 1,5²) = 5,303 m
R = A/P = 0,4007 m
Snelheid
V = (1/0,03)·0,40072/3·0,0031/2 = 0,9924 m/s
Debiet
Q = A·V = 2,125·0,9924 = 2,109 m³/s
Antwoord
Q = 2,109 m³/s
10.Stroming in open waterlopen (Manning)
Antwoord: S = 0,003303 m/m
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Hydraulische straal
R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m
Los Manning op naar S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,6/0,1357)² = 0,003303
Antwoord
S = 0,003303
Dat is een daling van 3,303 m per kilometer.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering