Hydrostatische kracht
- Druk op diepte
- p = ρgh
- Kracht op een verticale wand
- F = ρg·hc·A
- Drukpunt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechthoek
- Ic = bH³/12
Waterbouwkunde: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Continuïteit en Bernoulli
- Continuïteit
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Debiet
- Q = A·v
- Oppervlakte van een cirkel
- A = πd²/4
Leidingwrijving en drukhoogteverlies
- Getal van Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Stromingsregime
- laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
- Gemiddelde snelheid
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Plaatselijke verliezen
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Gangbare K-waarden
- intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
- Drukval
- Δp = ρ·g·hf
- Twee open reservoirs
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Vrije uitstroming
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompen en pompvermogen
- Hydraulisch vermogen
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Asvermogen
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrisch vermogen
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Opvoerhoogte van de pomp
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Systeemverliezen
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Stroming in open waterlopen (Manning)
- Formule van Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Debiet
- Q = A·V
- Hydraulische straal
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rechthoek
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezium (taludhelling z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Ronde buis, vol of half vol
- R = D/4
- Benodigd verhang
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Oefenopgaven
1.Hydrostatische krachtGemiddeld
Een verticale rechthoekige schuif van 3 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 2,5 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 2,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische krachtMoeilijk
Een verticale rechthoekige schuif van 1 m breed zit in de wand van een tank met olie, met de bovenrand 0,5 m onder het oppervlak. Vind de diepte ycp van het drukpunt onder het oppervlak.
d = 0,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld
Water stroomt door een horizontale leiding die versmalt van 100 mm naar 40 mm. In het brede deel is de druk 190 kPa en de snelheid 1 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in het smalle deel.
d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 190 kPav1 = 1 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk
Een slang met een binnendiameter van 32 mm hevelt water uit een open tank. Het hoogste punt C van de slang ligt 1 m boven het wateroppervlak, en de uitlaat (open naar de lucht) ligt 4,5 m onder het wateroppervlak. Verwaarloos verliezen en neem g = 9,81 m/s². Vind de absolute druk pC in punt C. De atmosferische druk is 101,3 kPa.
d = 32 mmzC = +1 mz2 = −4,5 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld
Water (ρ = 1000 kg/m³) stroomt met 1,8 m/s door een horizontale leiding van 800 m lang met een binnendiameter van 250 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,03 en g = 9,81 m/s². Vind de drukval Δp over de leiding in kPa.
V = 1,8 m/sL = 800 mD = 250 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk
Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 100 m lang met een binnendiameter van 300 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,015. Het wateroppervlak van het bovenste reservoir ligt 12 m boven dat van het onderste. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 4 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 0,2) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het debiet Q in L/s.
Δz = 12 mL = 100 mD = 300 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompen en pompvermogenGemiddeld
Bij een test levert een pomp 100 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 56 m, terwijl de as 73,2 kW opneemt. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het pomprendement η in procent.
Q = 100 L/sH = 56 mPshaft = 73,2 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompen en pompvermogenMoeilijk
Een pomp verplaatst 12 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 5 m hoger ligt. De leiding is 100 m lang met een binnendiameter van 100 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,022; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 8 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². De bovenste tank is gesloten en de lucht boven het water staat op een overdruk van 250 kPa. Vind de opvoerhoogte H die de pomp moet toevoegen.
Q = 12 L/sΔz = 5 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,022ΣK = 8ptank = 250 kPa
H = m
9.Stroming in open waterlopen (Manning)Gemiddeld
Een rechthoekig kanaal van grond met grasbekleding is 3 m breed. Water stroomt eenparig 0,7 m diep. Manning-n = 0,03 en het bodemverhang is S = 0,0015. Vind het debiet Q in m³/s.
b = 3 my = 0,7 mn = 0,03S = 0,0015
Q = m³/s
10.Stroming in open waterlopen (Manning)Moeilijk
Een betonnen riool met een binnendiameter van 200 mm (Manning-n = 0,013) moet bij net volle stroming een zelfreinigende snelheid van 0,75 m/s halen. Vind het minimale verhang S (in m/m).
D = 200 mmn = 0,013V = 0,75 m/s
S = m/m
3Oplossingen
1.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 143,5 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·4,5 = 143,5 kN
Antwoord
F = 143,5 kN
2.Hydrostatische kracht
Antwoord: ycp = 1,083 m
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·1·1 = 8,633 kN
Drukpunt
De druk neemt toe met de diepte, dus de resultante grijpt aan onder het zwaartepunt.
Ic = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1 + 0,08333/(1·1) = 1,083 m
Antwoord
ycp = 1,083 m
3.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: p2 = 171 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Continuïteit en Bernoulli
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(100/40)² = 6,25 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 6,25²)/1000 = −19,03 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 190 + (−19,03) = 171 kPa
Antwoord
p2 = 171 kPa
4.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: pC = 47,34 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Snelheid in de slang
Oppervlak en uitlaat zijn allebei open naar de lucht, dus de drukterm valt weg.
v = √(2g·4,5) = √(2·9,81·4,5) = 9,396 m/s
Bernoulli van het oppervlak naar C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(9,396²/2 + 9,81·1)/1000 = 101,3 − 53,96 = 47,34 kPa
Antwoord
pC = 47,34 kPa
Als deze druk daalt tot de dampdruk van het water, werkt de hevel niet meer.
5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: Δp = 155,5 kPa
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Drukhoogteverlies
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(800/0,25)·1,8²/(2·9,81) = 15,85 m
Drukval
De leiding is horizontaal en de snelheid verandert niet, dus de energievergelijking wordt Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·15,85 = 155520 Pa = 155,5 kPa
Antwoord
Δp = 155,5 kPa
6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: Q = 385,9 L/s
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Verliescoëfficiënten
f·L/D = 0,015·100/0,3 = 5
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9
Energievergelijking
Beide oppervlakken staan open naar de lucht en zijn praktisch in rust, dus heel Δz gaat verloren in de leiding.
12 = (5 + 2,9)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·12/7,9) = 5,459 m/s
Debiet
Q = V·π·D²/4 = 5,459·0,07069 = 0,3859 m³/s = 385,9 L/s
Antwoord
Q = 385,9 L/s
7.Pompen en pompvermogen
Antwoord: η = 75,05 %
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Hydraulisch vermogen
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·56 = 54,94 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 54,94/73,2 = 75,05%
Antwoord
η = 75,05%
8.Pompen en pompvermogen
Antwoord: H = 34,05 m
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Snelheid
V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m
Drukhoogteverliezen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 8)·0,119 = 3,569 m
Drukhoogte
p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m
Opvoerhoogte van de pomp
Beide oppervlakken zijn praktisch in rust, dus er is geen term voor de snelheidshoogte.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 25,48 + 3,569 = 34,05 m
Antwoord
H = 34,05 m
9.Stroming in open waterlopen (Manning)
Antwoord: Q = 1,656 m³/s
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Geometrie
A = b·y = 3·0,7 = 2,1 m²
P = b + 2y = 3 + 2·0,7 = 4,4 m
R = A/P = 0,4773 m
Snelheid
V = (1/0,03)·0,47732/3·0,00151/2 = 0,7884 m/s
Debiet
Q = A·V = 2,1·0,7884 = 1,656 m³/s
Antwoord
Q = 1,656 m³/s
10.Stroming in open waterlopen (Manning)
Antwoord: S = 0,005161 m/m
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Hydraulische straal
R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m
Los Manning op naar S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,75/0,1357)² = 0,005161
Antwoord
S = 0,005161
Dat is een daling van 5,161 m per kilometer.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering