Natuurkunde 1: Mechanica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Kinematica

Snelheid: v = v₀ + a·t
Verplaatsing: s = v₀·t + ½·a·t²
Zonder tijd: v² = v₀² + 2·a·s
Eenheden: 1 m/s = 3,6 km/h

Methode

Noteer wat je weet: v₀, v, a, t en s, met eenheden.
Kies de vergelijking met je drie bekenden en de onbekende.
Kies één positieve richting en geef tegengestelde grootheden een minteken.
Los op en controleer of het antwoord fysisch zinvol is.

Wetten van Newton

Tweede wet: ΣF = m·a
Gewicht: W = m·g
Kinetische wrijving: F_f = μ·N
Op een helling: langs: m·g·sin θ, loodrecht: m·g·cos θ

Methode

Teken een vrijlichaamsschema met elke kracht op het lichaam.
Kies een positieve richting langs de beweging.
Ontbind krachten in componenten langs en loodrecht op de beweging (op een helling: m·g·sin θ langs, m·g·cos θ de helling in).
Pas ΣF = m·a toe langs de beweging; wrijving is μ·N tegen de beweging in.

Kogelbaan

Componenten: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Positie: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Maximale hoogte: H = h + v_y²/(2g)
Worpafstand (vlakke grond): R = v₀²·sin 2θ/g

Methode

Ontbind de beginsnelheid in componenten: v_x = v₀·cos θ en v_y = v₀·sin θ.
De horizontale beweging heeft een constante snelheid; de verticale beweging heeft versnelling −g.
Bepaal de vluchttijd uit de verticale beweging.
Gebruik die tijd in de horizontale beweging om de dracht te vinden.

Cirkelbeweging

Centripetale versnelling: a = v²/r = ω²·r
Centripetale kracht: F = m·v²/r
Hoeksnelheid: ω = v/r = 2π/T
Vlakke bocht, wrijving: v_max = √(μ·g·r)

Arbeid en energie

Kinetische energie: E_k = ½mv²
Potentiële energie: E_p = mgh
Energiebalans: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Wrijvingsarbeid: W = μ·N·d
Vermogen: P = W/t

Impuls en botsingen

Impuls: p = m·v
Behoud: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Volkomen inelastisch: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Stoot: J = F·Δt = m·Δv

Methode

Kies een positieve richting en geef elke snelheid haar teken.
Schrijf de totale impuls vooraf op: Σm·v.
Bij een volkomen inelastische botsing bewegen de lichamen daarna samen; bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden.
Stel de impuls vooraf gelijk aan de impuls achteraf en los op.

Veren en slingers

Massa aan een veer: T = 2π·√(m/k)
Slinger: T = 2π·√(L/g)
Hoekfrequentie: ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale snelheid en versnelling: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energie: E = ½·k·A²

Golven, geluid & optica

Golfsnelheid: v = fλ, T = 1/f
Snaar: v = √(T/μ), μ = m/L
Geluidsniveau: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Puntbron: I = P/(4πr²)
Staande golven: snaar of aan beide kanten open buis f_n = n·v/(2L); aan één kant gesloten buis f_n = n·v/(4L), n oneven
Dopplereffect: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Brekingsindex: n = c/v, λ = λ₀/n
Wet van Snellius: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Kritieke hoek: sin θ_c = n₂/n₁
Glasvezel: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lenzen en spiegels: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dubbele spleet: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Tralie: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Enkele spleet: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

Bepaal het soort opgave: golfsnelheid, geluidsniveau, staande golf, Doppler, breking, lens of spiegel, of interferentie.
Schrijf eerst de formule op: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) of n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Reken eenheden om: nm, mm en cm naar m, en controleer of hoeken vanaf de normaal worden gemeten.
Controleer tekens en aannemelijkheid: een virtueel beeld heeft dᵢ < 0, een naderende bron klinkt hoger, een aan één kant gesloten buis heeft alleen oneven harmonischen.

2Oefenopgaven

1.KinematicaGemiddeld

Een auto die met 80 km/h rijdt, remt met een constante vertraging van 4 m/s² tot hij stilstaat. Bereken de remweg s.

v₀ = 80 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.KinematicaMoeilijk

Bal A wordt vanuit rust losgelaten op een hoogte van 30 m. Op hetzelfde moment wordt bal B recht eronder vanaf de grond recht omhoog gegooid met 27 m/s. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Op welke hoogte y boven de grond ontmoeten ze elkaar?

H = 30 mv_0B = 27 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Wetten van NewtonGemiddeld

Een blok van 4 kg glijdt een helling af die 20° met de horizontaal maakt. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,25. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de versnelling a van het blok langs de helling.

m = 4 kgθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Wetten van NewtonMoeilijk

Een blok van 7 kg op een horizontale tafel is via een licht touw over een wrijvingsloze katrol verbonden met een hangende massa van 1,5 kg. De tafel is wrijvingsloos. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de versnelling a van het systeem.

m₁ = 7 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.KogelbaanGemiddeld

Een bal wordt vanaf vlakke grond gelanceerd onder 35° boven de horizontaal en landt 80 m verderop. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de beginsnelheid v₀.

θ = 35°R = 80 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.KogelbaanMoeilijk

Een bal wordt onder 55° boven de horizontaal vanaf de top van een 30 m hoge klif weggeschoten. Verwaarloos luchtweerstand. Vind de vliegtijd t tot de bal de grond raakt.

v₀ = 26 m/sθ = 55°h = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.CirkelbewegingGemiddeld

Een auto neemt een vlakke bocht met een straal van 105 m. De statische wrijvingscoëfficiënt tussen banden en weg is 0,3. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de hoogste snelheid v_max waarmee de auto de bocht kan nemen zonder te slippen.

r = 105 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.CirkelbewegingMoeilijk

Een bal aan een touw van 1,5 m wordt rondgeslingerd in een verticale cirkel. Gebruik g = 9,81 m/s². Wat is de kleinste snelheid v_min in het hoogste punt waarbij het touw nog net strak blijft?

r = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Arbeid en energieGemiddeld

Een bal van 0,2 kg hangt aan een licht touwtje met lengte 3 m. Hij wordt opzij getrokken tot het touwtje 50° maakt met de verticaal en vanuit rust losgelaten. Vind de spankracht T in het touwtje als de bal het laagste punt passeert.

m = 0,2 kgL = 3 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Arbeid en energieMoeilijk

Een veer met veerconstante 2000 N/m onderaan een helling van 40° wordt 8 cm ingedrukt tegen een blok van 1 kg en losgelaten. De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen blok en helling is 0,25. Hoe ver d gaat het blok vanaf het loslaatpunt de helling op voordat het stopt? (Verwaarloos de korte afstand waarover de veer duwt, d.w.z. neem wrijving en zwaartekracht over de hele afstand d.)

m = 1 kgk = 2000 N/mx = 8 cmθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

11.Impuls en botsingenGemiddeld

Een auto van 600 kg die met 11 m/s rijdt, botst op een stilstaande auto van 900 kg en de twee haken in elkaar. Hoeveel kinetische energie ΔK gaat er bij de botsing verloren?

m₁ = 600 kgv₁ = 11 m/sm₂ = 900 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Impuls en botsingenMoeilijk

Op een kruispunt botst een auto van 1100 kg die met 21 m/s naar het oosten rijdt op een auto van 1100 kg die met 11 m/s naar het noorden rijdt. De auto’s haken in elkaar. Vind de snelheid v′ van het wrak direct na de botsing.

m₁ = 1100 kgv₁ = 21 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 11 m/s (N)

v′ = m/s

13.Veren en slingersGemiddeld

Een massa van 1,1 kg aan een veer met k = 190 N/m wordt 3 cm in de positieve richting uitgetrokken en op t = 0 vanuit rust losgelaten. Vind de uitwijking x uit de evenwichtsstand op t = 0,1 s (met teken).

m = 1,1 kgk = 190 N/mA = 3 cmt = 0,1 s

x = cm

14.Veren en slingersMoeilijk

Een massa van 3,4 kg aan een veer met k = 270 N/m wordt 14 cm uit de evenwichtsstand getrokken en losgelaten. Bereken de totale energie E van de trilling.

m = 3,4 kgk = 270 N/mA = 14 cm

E = J

15.Golven, geluid & opticaGemiddeld

Een kleine bron zendt geluid gelijkmatig in alle richtingen uit. Het niveau is 60 dB op 5 m ervan. Bepaal het niveau β₂ op 20 m, zonder absorptie en reflecties.

β₁ = 60 dBr₁ = 5 mr₂ = 20 m

β₂ = dB

16.Golven, geluid & opticaMoeilijk

Licht met golflengte 550 nm valt loodrecht op een tralie met 1200 lijnen per millimeter. Bepaal de hoek θ₁ van het maximum van orde 1.

N = 1200 mm⁻¹λ = 550 nmm = 1

θ₁ = °

3Oplossingen

1.Kinematica

Antwoord: s = 61,73 m

Beweging met constante versnelling: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² en v² = v₀² + 2·a·s. Kies de formule die de drie bekende grootheden en de gezochte grootheid bevat, en houd de tekens consequent bij één positieve richting.

Eenheden

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Remweg

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·4) = 61,73 m

Antwoord

s = 61,73 m

2.Kinematica

Antwoord: y = 23,94 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Ontmoetingstijd

Omhoog is positief, de grond is y = 0.

30 − ½g·t² = 27·t − ½g·t² → t = 30/27 = 1,111 s

Ontmoetingshoogte

y = 27·1,111 − ½·9,81·1,111² = 23,94 m

Antwoord

y = 23,94 m

3.Wetten van Newton

Antwoord: a = 1,051 m/s²

Tweede wet van Newton: de resulterende kracht op een lichaam is gelijk aan de massa maal de versnelling, ΣF = m·a. Teken een vrijlichaamsschema, kies een positieve richting langs de beweging en tel alle krachten in die richting op: uitgeoefende krachten, de wrijving μ·N tegen de beweging in, en de componenten van de zwaartekracht.

Krachten langs de helling

Langs de helling omlaag is positief.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Versnelling

a = 9,81·(sin 20° − 0,25·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,2349) = 1,051 m/s²

Antwoord

a = 1,051 m/s²

4.Wetten van Newton

Antwoord: a = 1,731 m/s²

Versnelling van het systeem

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 0)/8,5 = 1,731 m/s²

Antwoord

a = 1,731 m/s²

5.Kogelbaan

Antwoord: v₀ = 28,9 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Los de formule voor de worpafstand op naar v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·80/sin 70°) = 28,9 m/s

Antwoord

v₀ = 28,9 m/s

6.Kogelbaan

Antwoord: t = 5,462 s

Kogelbaan: zonder luchtweerstand geldt x = v_xt en y = h + v_yt − ½gt². De twee richtingen zijn onafhankelijk, behalve dat ze dezelfde tijd delen.

Ontbind de beginsnelheid

De horizontale snelheid blijft constant; de verticale beweging heeft een constante versnelling g = 9,81 m/s² omlaag.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 55° = 14,91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 55° = 21,3 m/s

Vliegtijd

Los y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 op voor de positieve wortel.

0 = 30 + 21,3·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (21,3 + √(453,6 + 588,6))/9,81 = 5,462 s

Antwoord

t = 5,462 s

7.Cirkelbeweging

Antwoord: v_max = 17,58 m/s

Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.

Wrijving levert de centripetale kracht

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·105) = 17,58 m/s

Antwoord

v_max = 17,58 m/s (63,28 km/h)

8.Cirkelbeweging

Antwoord: v_min = 3,836 m/s

Spankracht nul in het hoogste punt

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,5) = 3,836 m/s

Antwoord

v_min = 3,836 m/s

9.Arbeid en energie

Antwoord: T = 3,364 N

Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d). Op een cirkelbaan moet de nettokracht naar het middelpunt gelijk zijn aan mv²/r.

Snelheid onderaan

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·3·(1 − cos 50°) = 21,03 m²/s²

Krachten onderaan

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

T = mg + mv²/L = 1,962 + 0,2·21,03/3 = 3,364 N

Antwoord

T = 3,364 N

Controle: T = mg(3 − 2cos θ) = 3,364 N.

10.Arbeid en energie

Antwoord: d = 0,782 m

Veerenergie

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·2000·0,08² = 6,4 J

Energiebalans langs de helling

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 6,4/(9,81·(0,6428 + 0,25·0,766)) = 0,782 m

Antwoord

d = 0,782 m

11.Impuls en botsingen

Antwoord: ΔK = 21780 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Gemeenschappelijke snelheid

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·11/1500 = 4,4 m/s

Kinetische energie vóór en na

K_before = ½·600·11² = 36300 J

K_after = ½·1500·4,4² = 14520 J

Verloren energie

ΔK = 36300 − 14520 = 21780 J

Antwoord

ΔK = 21780 J

De verloren energie gaat naar vervorming, warmte en geluid.

12.Impuls en botsingen

Antwoord: v′ = 11,85 m/s

Impulscomponenten

p_x = 1100·21 = 23100 kg·m/s

p_y = 1100·11 = 12100 kg·m/s

Snelheid van het wrak

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 26077/2200 = 11,85 m/s

Antwoord

v′ = 11,85 m/s

13.Veren en slingers

Antwoord: x = 0,7612 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Hoekfrequentie

ω = √(190/1,1) = 13,14 rad/s

ω·t = 13,14·0,1 = 1,314 rad

Verplaatsing

x = A·cos(ω·t) = 3·cos(1,314) = 0,7612 cm

Antwoord

x = 0,7612 cm

14.Veren en slingers

Antwoord: E = 2,646 J

Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².

Hoekfrequentie

ω = √(270/3,4) = 8,911 rad/s

Energie

E = ½·k·A² = ½·270·0,14² = 2,646 J

Antwoord

E = 2,646 J

15.Golven, geluid & optica

Antwoord: β₂ = 47,96 dB

Golven: een periodieke golf verplaatst zich in één periode één golflengte, dus v = fλ met T = 1/f. Op een gespannen snaar is v = √(T/μ), met T de spankracht en μ = m/L de massa per meter. Geluid in lucht beweegt zich bij 20 °C voort met ongeveer 343 m/s, licht in vacuüm met c = 3,00 × 10⁸ m/s. Luidheid wordt gemeten op een logaritmische schaal: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB met I₀ = 10⁻¹² W/m², dus 10 keer de intensiteit voegt 10 dB toe. Een puntbron verspreidt zijn vermogen P over een bol: I = P/(4πr²).

Intensiteitsverhouding

I₂/I₁ = (5/20)² = 0,0625

Nieuw niveau

β₂ = 60 + 10·log₁₀(0,0625) = 47,96 dB

Antwoord

β₂ = 47,96 dB

Elke verdubbeling van de afstand verlaagt het niveau met ongeveer 6 dB.

16.Golven, geluid & optica

Antwoord: θ₁ = 41,3 °

Interferentie en diffractie: licht van twee spleten op afstand d van elkaar bereikt een punt op het scherm met een gangverschil d·sin θ. Heldere franjes verschijnen waar d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Voor een scherm op afstand L ≫ d ligt de m-de heldere franje op y = mλL/d en is de franjeafstand Δy = λL/d. Een tralie met N lijnen per millimeter heeft d = 1/N en scherpe maxima bij d·sin θ = mλ; omdat sin θ ≤ 1, is de hoogste orde het grootste gehele getal m ≤ d/λ. Een enkele spleet met breedte a heeft donkere franjes bij a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Lijnafstand

d = 1/1200 mm = 8,333 × 10⁻⁷ m

Tralievergelijking

sin θ = mλ/d = 1·550 × 10⁻⁹/(8,333 × 10⁻⁷) = 0,66

θ = 41,3°

Antwoord

θ₁ = 41,3°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics