Natuurkunde 1: Mechanica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Kinematica

Snelheid: v = v₀ + a·t
Verplaatsing: s = v₀·t + ½·a·t²
Zonder tijd: v² = v₀² + 2·a·s
Eenheden: 1 m/s = 3,6 km/h

Methode

Noteer wat je weet: v₀, v, a, t en s, met eenheden.
Kies de vergelijking met je drie bekenden en de onbekende.
Kies één positieve richting en geef tegengestelde grootheden een minteken.
Los op en controleer of het antwoord fysisch zinvol is.

Wetten van Newton

Tweede wet: ΣF = m·a
Gewicht: W = m·g
Kinetische wrijving: F_f = μ·N
Op een helling: langs: m·g·sin θ, loodrecht: m·g·cos θ

Methode

Teken een vrijlichaamsschema met elke kracht op het lichaam.
Kies een positieve richting langs de beweging.
Ontbind krachten in componenten langs en loodrecht op de beweging (op een helling: m·g·sin θ langs, m·g·cos θ de helling in).
Pas ΣF = m·a toe langs de beweging; wrijving is μ·N tegen de beweging in.

Kogelbaan

Componenten: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Positie: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Maximale hoogte: H = h + v_y²/(2g)
Worpafstand (vlakke grond): R = v₀²·sin 2θ/g

Methode

Ontbind de beginsnelheid in componenten: v_x = v₀·cos θ en v_y = v₀·sin θ.
De horizontale beweging heeft een constante snelheid; de verticale beweging heeft versnelling −g.
Bepaal de vluchttijd uit de verticale beweging.
Gebruik die tijd in de horizontale beweging om de dracht te vinden.

Cirkelbeweging

Centripetale versnelling: a = v²/r = ω²·r
Centripetale kracht: F = m·v²/r
Hoeksnelheid: ω = v/r = 2π/T
Vlakke bocht, wrijving: v_max = √(μ·g·r)

Arbeid en energie

Kinetische energie: E_k = ½mv²
Potentiële energie: E_p = mgh
Energiebalans: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Wrijvingsarbeid: W = μ·N·d
Vermogen: P = W/t

Impuls en botsingen

Impuls: p = m·v
Behoud: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Volkomen inelastisch: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Stoot: J = F·Δt = m·Δv

Methode

Kies een positieve richting en geef elke snelheid haar teken.
Schrijf de totale impuls vooraf op: Σm·v.
Bij een volkomen inelastische botsing bewegen de lichamen daarna samen; bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden.
Stel de impuls vooraf gelijk aan de impuls achteraf en los op.

Veren en slingers

Massa aan een veer: T = 2π·√(m/k)
Slinger: T = 2π·√(L/g)
Hoekfrequentie: ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale snelheid en versnelling: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energie: E = ½·k·A²

Golven, geluid & optica

Golfsnelheid: v = fλ, T = 1/f
Snaar: v = √(T/μ), μ = m/L
Geluidsniveau: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Puntbron: I = P/(4πr²)
Staande golven: snaar of aan beide kanten open buis f_n = n·v/(2L); aan één kant gesloten buis f_n = n·v/(4L), n oneven
Dopplereffect: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Brekingsindex: n = c/v, λ = λ₀/n
Wet van Snellius: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Kritieke hoek: sin θ_c = n₂/n₁
Glasvezel: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lenzen en spiegels: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dubbele spleet: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Tralie: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Enkele spleet: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

Bepaal het soort opgave: golfsnelheid, geluidsniveau, staande golf, Doppler, breking, lens of spiegel, of interferentie.
Schrijf eerst de formule op: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) of n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Reken eenheden om: nm, mm en cm naar m, en controleer of hoeken vanaf de normaal worden gemeten.
Controleer tekens en aannemelijkheid: een virtueel beeld heeft dᵢ < 0, een naderende bron klinkt hoger, een aan één kant gesloten buis heeft alleen oneven harmonischen.

2Oefenopgaven

1.KinematicaGemiddeld

Een vliegtuig heeft 280 km/h nodig om op te stijgen en de bruikbare startbaan is 2000 m lang. Welke constante versnelling a heeft het vanuit stilstand nodig?

v₀ = 0v = 280 km/hs = 2000 m

a = m/s²

2.KinematicaMoeilijk

Een modelraket wordt vanuit rust recht omhoog gelanceerd. De motor geeft hem 2,5 s lang een constante opwaartse versnelling van 40 m/s², waarna de motor stopt en de raket vrij beweegt. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de grootste hoogte h_max die de raket bereikt.

a = 40 m/s²t₁ = 2,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Wetten van NewtonGemiddeld

Een blok van 20 kg glijdt een helling af die 35° met de horizontaal maakt. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,1. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de versnelling a van het blok langs de helling.

m = 20 kgθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Wetten van NewtonMoeilijk

Een blok krijgt een duw, zodat het met een snelheid van 4 m/s een helling onder 30° op begint te glijden. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,3. Gebruik g = 9,81 m/s². Hoe ver d glijdt het langs de helling voordat het stopt?

v₀ = 4 m/sθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.KogelbaanGemiddeld

Een bal wordt vanaf vlakke grond gelanceerd onder 15° boven de horizontaal en landt 30 m verderop. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de beginsnelheid v₀.

θ = 15°R = 30 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.KogelbaanMoeilijk

Een bal wordt gelanceerd met 22 m/s onder 60° boven de horizontaal vanaf de top van een klif van 20 m. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Onder welke hoek α onder de horizontaal raakt hij de grond?

v₀ = 22 m/sθ = 60°h = 20 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.CirkelbewegingGemiddeld

Een auto neemt een vlakke bocht met een straal van 145 m. De statische wrijvingscoëfficiënt tussen banden en weg is 0,3. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de hoogste snelheid v_max waarmee de auto de bocht kan nemen zonder te slippen.

r = 145 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.CirkelbewegingMoeilijk

Een bal van 1,3 kg aan een touw van 0,8 m wordt rondgeslingerd in een verticale cirkel. In het laagste punt beweegt hij met 7 m/s. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de spankracht T in het touw in het laagste punt.

m = 1,3 kgr = 0,8 mv = 7 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Arbeid en energieGemiddeld

Een auto van 2000 kg rijdt met een constante 72 km/h een helling van 8° op. Luchtweerstand en rolweerstand samen bedragen 700 N. Vind het vermogen P dat de wielen moeten leveren, in kW.

m = 2000 kgθ = 8°F_r = 700 Nv = 72 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Arbeid en energieMoeilijk

Een veer met veerconstante 2000 N/m onderaan een helling van 15° wordt 8 cm ingedrukt tegen een blok van 2 kg en losgelaten. De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen blok en helling is 0,25. Hoe ver d gaat het blok vanaf het loslaatpunt de helling op voordat het stopt? (Verwaarloos de korte afstand waarover de veer duwt, d.w.z. neem wrijving en zwaartekracht over de hele afstand d.)

m = 2 kgk = 2000 N/mx = 8 cmθ = 15°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

11.Impuls en botsingenGemiddeld

Een projectiel van 10 kg dat horizontaal met 6 m/s beweegt, explodeert in twee brokstukken die langs dezelfde lijn bewegen. Het brokstuk van 9 kg gaat met 22 m/s vooruit. Vind de snelheid v′₂ van het brokstuk van 1 kg (positief in de oorspronkelijke richting).

M = 10 kgu = 6 m/sm₁ = 9 kgv′₁ = 22 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.Impuls en botsingenMoeilijk

Een kogel van 20 g wordt horizontaal afgevuurd in een blok van 3,5 kg dat aan lichte touwtjes van 1,2 m lang hangt, en blijft erin steken. De touwtjes zwaaien uit tot een grootste hoek van 35° met de verticaal. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de snelheid v van de kogel vóór de inslag.

m = 20 gM = 3,5 kgL = 1,2 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Veren en slingersGemiddeld

Een mathematische slinger heeft een lengte van 2,4 m. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de slingertijd T bij kleine uitwijkingen.

L = 2,4 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Veren en slingersMoeilijk

Een massa van 3,1 kg aan een veer met k = 230 N/m wordt 11 cm uit de evenwichtsstand getrokken en losgelaten. Bereken de totale energie E van de trilling.

m = 3,1 kgk = 230 N/mA = 11 cm

E = J

15.Golven, geluid & opticaGemiddeld

Een kleine luidspreker straalt 0,05 W geluidsvermogen gelijkmatig in alle richtingen uit. Bepaal het geluidsniveau β op 1 m.

P = 0,05 Wr = 1 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

16.Golven, geluid & opticaMoeilijk

Een tralie met 400 lijnen per millimeter toont het maximum van orde 2 van een spectraallijn onder 22,9° met de rechtdoorgaande richting. Bepaal de golflengte λ van de lijn.

N = 400 mm⁻¹θ₂ = 22,9°m = 2

λ = nm

3Oplossingen

1.Kinematica

Antwoord: a = 1,512 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Eenheden

v = 280/3,6 = 77,78 m/s

Versnelling

a = v²/(2s) = 77,78²/(2·2000) = 1,512 m/s²

Antwoord

a = 1,512 m/s²

2.Kinematica

Antwoord: h_max = 634,7 m

Aangedreven fase

v₁ = 40·2,5 = 100 m/s

h₁ = ½·40·2,5² = 125 m

Vrije vlucht omhoog

Bovenaan is de snelheid nul.

Δh = v₁²/(2g) = 100²/(2·9,81) = 509,7 m

h_max = 125 + 509,7 = 634,7 m

Antwoord

h_max = 634,7 m

3.Wetten van Newton

Antwoord: a = 4,823 m/s²

Tweede wet van Newton: de resulterende kracht op een lichaam is gelijk aan de massa maal de versnelling, ΣF = m·a. Teken een vrijlichaamsschema, kies een positieve richting langs de beweging en tel alle krachten in die richting op: uitgeoefende krachten, de wrijving μ·N tegen de beweging in, en de componenten van de zwaartekracht.

Krachten langs de helling

Langs de helling omlaag is positief.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Versnelling

a = 9,81·(sin 35° − 0,1·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,08192) = 4,823 m/s²

Antwoord

a = 4,823 m/s²

4.Wetten van Newton

Antwoord: d = 1,073 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Vertraging

Beide krachten wijzen de helling af; de massa valt weg.

a = 9,81·(sin 30° + 0,3·cos 30°) = 7,454 m/s²

Afstand

d = v₀²/(2a) = 4²/(2·7,454) = 1,073 m

Antwoord

d = 1,073 m

5.Kogelbaan

Antwoord: v₀ = 24,26 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Los de formule voor de worpafstand op naar v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·30/sin 30°) = 24,26 m/s

Antwoord

v₀ = 24,26 m/s

6.Kogelbaan

Antwoord: α = 68,19 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Ontbind de beginsnelheid

v_x = 22·cos 60° = 11 m/s

v_y0 = 22·sin 60° = 19,05 m/s

Verticale snelheid bij de inslag

Energie, of v² = v₀² + 2as in de verticale richting.

v_y = √(19,05² + 2·9,81·20) = 27,48 m/s

Inslaghoek

tan α = v_y/v_x = 27,48/11 → α = 68,19°

Antwoord

α = 68,19°

7.Cirkelbeweging

Antwoord: v_max = 20,66 m/s

Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.

Wrijving levert de centripetale kracht

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·145) = 20,66 m/s

Antwoord

v_max = 20,66 m/s (74,37 km/h)

8.Cirkelbeweging

Antwoord: T = 92,38 N

Krachten in het laagste punt

Naar het middelpunt (omhoog) is positief.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,3·9,81 + 1,3·7²/0,8 = 12,75 + 79,62 = 92,38 N

Antwoord

T = 92,38 N

9.Arbeid en energie

Antwoord: P = 68,61 kW

Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d). Vermogen is kracht maal snelheid: P = F·v.

Aandrijfkracht

m·g = 2000·9,81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 8° = 2731 N

F = 2731 + 700 = 3431 N

Vermogen

v = 72/3,6 = 20 m/s

P = F·v = 3431·20 = 68612 W = 68,61 kW

Antwoord

P = 68,61 kW

10.Arbeid en energie

Antwoord: d = 0,652 m

Veerenergie

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·2000·0,08² = 6,4 J

Energiebalans langs de helling

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 6,4/(19,62·(0,2588 + 0,25·0,9659)) = 0,652 m

Antwoord

d = 0,652 m

11.Impuls en botsingen

Antwoord: v′₂ = −138 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Impuls vooraf

p = M·u = 10·6 = 60 kg·m/s

Impuls achteraf

60 = 9·22 + 1·v′₂

v′₂ = (60 − 198)/1 = −138 m/s

Antwoord

v′₂ = −138 m/s

Het minteken betekent dat het tweede brokstuk naar achteren vliegt.

12.Impuls en botsingen

Antwoord: v = 363,2 m/s

Stijging van het blok

h = L·(1 − cos θ) = 1,2·(1 − cos 35°) = 0,217 m

Snelheid na de inslag

V = √(2·9,81·0,217) = 2,063 m/s

Botsing

v = (m + M)·V/m = 3,52·2,063/0,02 = 363,2 m/s

Antwoord

v = 363,2 m/s

13.Veren en slingers

Antwoord: T = 3,108 s

Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².

Slingertijd

T = 2π·√(2,4/9,81) = 3,108 s

Antwoord

T = 3,108 s

14.Veren en slingers

Antwoord: E = 1,391 J

Hoekfrequentie

ω = √(230/3,1) = 8,614 rad/s

Energie

E = ½·k·A² = ½·230·0,11² = 1,391 J

Antwoord

E = 1,391 J

15.Golven, geluid & optica

Antwoord: β = 96 dB

Golven: een periodieke golf verplaatst zich in één periode één golflengte, dus v = fλ met T = 1/f. Op een gespannen snaar is v = √(T/μ), met T de spankracht en μ = m/L de massa per meter. Geluid in lucht beweegt zich bij 20 °C voort met ongeveer 343 m/s, licht in vacuüm met c = 3,00 × 10⁸ m/s. Luidheid wordt gemeten op een logaritmische schaal: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB met I₀ = 10⁻¹² W/m², dus 10 keer de intensiteit voegt 10 dB toe. Een puntbron verspreidt zijn vermogen P over een bol: I = P/(4πr²).

Intensiteit

I = P/(4πr²) = 0,003979 W/m²

Niveau

β = 10·log₁₀(0,003979/10⁻¹²) = 96 dB

Antwoord

β = 96 dB

16.Golven, geluid & optica

Antwoord: λ = 486,4 nm

Interferentie en diffractie: licht van twee spleten op afstand d van elkaar bereikt een punt op het scherm met een gangverschil d·sin θ. Heldere franjes verschijnen waar d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Voor een scherm op afstand L ≫ d ligt de m-de heldere franje op y = mλL/d en is de franjeafstand Δy = λL/d. Een tralie met N lijnen per millimeter heeft d = 1/N en scherpe maxima bij d·sin θ = mλ; omdat sin θ ≤ 1, is de hoogste orde het grootste gehele getal m ≤ d/λ. Een enkele spleet met breedte a heeft donkere franjes bij a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Golflengte

λ = d·sin θ/m = 2,5 × 10⁻⁶·sin 22,9°/2 = 486,4 nm

Antwoord

λ = 486,4 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics