Natuurkunde 1: Mechanica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Kinematica

Snelheid: v = v₀ + a·t
Verplaatsing: s = v₀·t + ½·a·t²
Zonder tijd: v² = v₀² + 2·a·s
Eenheden: 1 m/s = 3,6 km/h

Methode

Noteer wat je weet: v₀, v, a, t en s, met eenheden.
Kies de vergelijking met je drie bekenden en de onbekende.
Kies één positieve richting en geef tegengestelde grootheden een minteken.
Los op en controleer of het antwoord fysisch zinvol is.

Wetten van Newton

Tweede wet: ΣF = m·a
Gewicht: W = m·g
Kinetische wrijving: F_f = μ·N
Op een helling: langs: m·g·sin θ, loodrecht: m·g·cos θ

Methode

Teken een vrijlichaamsschema met elke kracht op het lichaam.
Kies een positieve richting langs de beweging.
Ontbind krachten in componenten langs en loodrecht op de beweging (op een helling: m·g·sin θ langs, m·g·cos θ de helling in).
Pas ΣF = m·a toe langs de beweging; wrijving is μ·N tegen de beweging in.

Kogelbaan

Componenten: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Positie: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Maximale hoogte: H = h + v_y²/(2g)
Worpafstand (vlakke grond): R = v₀²·sin 2θ/g

Methode

Ontbind de beginsnelheid in componenten: v_x = v₀·cos θ en v_y = v₀·sin θ.
De horizontale beweging heeft een constante snelheid; de verticale beweging heeft versnelling −g.
Bepaal de vluchttijd uit de verticale beweging.
Gebruik die tijd in de horizontale beweging om de dracht te vinden.

Cirkelbeweging

Centripetale versnelling: a = v²/r = ω²·r
Centripetale kracht: F = m·v²/r
Hoeksnelheid: ω = v/r = 2π/T
Vlakke bocht, wrijving: v_max = √(μ·g·r)

Arbeid en energie

Kinetische energie: E_k = ½mv²
Potentiële energie: E_p = mgh
Energiebalans: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Wrijvingsarbeid: W = μ·N·d
Vermogen: P = W/t

Impuls en botsingen

Impuls: p = m·v
Behoud: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Volkomen inelastisch: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Stoot: J = F·Δt = m·Δv

Methode

Kies een positieve richting en geef elke snelheid haar teken.
Schrijf de totale impuls vooraf op: Σm·v.
Bij een volkomen inelastische botsing bewegen de lichamen daarna samen; bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden.
Stel de impuls vooraf gelijk aan de impuls achteraf en los op.

Veren en slingers

Massa aan een veer: T = 2π·√(m/k)
Slinger: T = 2π·√(L/g)
Hoekfrequentie: ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale snelheid en versnelling: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energie: E = ½·k·A²

Golven, geluid & optica

Golfsnelheid: v = fλ, T = 1/f
Snaar: v = √(T/μ), μ = m/L
Geluidsniveau: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Puntbron: I = P/(4πr²)
Staande golven: snaar of aan beide kanten open buis f_n = n·v/(2L); aan één kant gesloten buis f_n = n·v/(4L), n oneven
Dopplereffect: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Brekingsindex: n = c/v, λ = λ₀/n
Wet van Snellius: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Kritieke hoek: sin θ_c = n₂/n₁
Glasvezel: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lenzen en spiegels: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dubbele spleet: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Tralie: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Enkele spleet: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

Bepaal het soort opgave: golfsnelheid, geluidsniveau, staande golf, Doppler, breking, lens of spiegel, of interferentie.
Schrijf eerst de formule op: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) of n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Reken eenheden om: nm, mm en cm naar m, en controleer of hoeken vanaf de normaal worden gemeten.
Controleer tekens en aannemelijkheid: een virtueel beeld heeft dᵢ < 0, een naderende bron klinkt hoger, een aan één kant gesloten buis heeft alleen oneven harmonischen.

2Oefenopgaven

1.KinematicaGemiddeld

Een auto die met 60 km/h rijdt, remt met een constante vertraging van 4 m/s² tot hij stilstaat. Bereken de remweg s.

v₀ = 60 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.KinematicaMoeilijk

Een bal wordt met 14 m/s recht omhoog gegooid vanaf de rand van een dak 15 m boven de grond. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Hoelang na de worp raakt de bal de grond? Bereken t.

v₀ = 14 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Wetten van NewtonGemiddeld

Een doos van 20 kg wordt met constante snelheid een helling onder 15° met de horizontaal op geduwd, door een kracht evenwijdig aan de helling. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,2. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de duwkracht F.

m = 20 kgθ = 15°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

F = N

4.Wetten van NewtonMoeilijk

Een blok krijgt een duw, zodat het met een snelheid van 7,5 m/s een helling onder 25° op begint te glijden. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,15. Gebruik g = 9,81 m/s². Hoe ver d glijdt het langs de helling voordat het stopt?

v₀ = 7,5 m/sθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

5.KogelbaanGemiddeld

Een bal wordt vanaf vlakke grond weggetrapt met 32 m/s onder 45° boven de horizontaal, naar een muur op 84 m afstand. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Op welke hoogte y passeert de bal de muur?

v₀ = 32 m/sθ = 45°x = 84 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.KogelbaanMoeilijk

Een bal wordt gelanceerd met 29 m/s onder 70° boven de horizontaal vanaf de top van een klif van 30 m. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de grootste hoogte H boven de grond aan de voet van de klif.

v₀ = 29 m/sθ = 70°h = 30 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.CirkelbewegingGemiddeld

Een auto rijdt over de top van een bult in de weg, die een cirkelboog is met straal 70 m. Gebruik g = 9,81 m/s². Boven welke snelheid v_max komen de wielen bovenaan los van de weg?

r = 70 mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.CirkelbewegingMoeilijk

Een bal aan een touw van 1,3 m wordt rondgeslingerd in een verticale cirkel. Gebruik g = 9,81 m/s². Wat is de kleinste snelheid v_min in het hoogste punt waarbij het touw nog net strak blijft?

r = 1,3 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Arbeid en energieGemiddeld

Een bal van 0,5 kg hangt aan een licht touwtje met lengte 1 m. Hij wordt opzij getrokken tot het touwtje 20° maakt met de verticaal en vanuit rust losgelaten. Vind de spankracht T in het touwtje als de bal het laagste punt passeert.

m = 0,5 kgL = 1 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Arbeid en energieMoeilijk

Een blok van 8 kg begint in rust onderaan een helling van 25° en wordt de helling op getrokken door een constante kracht van 75 N evenwijdig aan de helling. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,15. Vind de snelheid v van het blok nadat het 5 m de helling op is gegaan.

m = 8 kgF = 75 Nθ = 25°μ = 0,15d = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Impuls en botsingenGemiddeld

Een kogel van 5 g wordt horizontaal afgevuurd in een houten blok van 5 kg dat aan lichte touwtjes hangt, en blijft erin steken. Het blok zwaait omhoog tot het 14 cm hoger is dan aan het begin. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de snelheid v van de kogel vóór de inslag.

m = 5 gM = 5 kgh = 14 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Impuls en botsingenMoeilijk

Een auto van 1400 kg botst op een geparkeerde auto van 800 kg. De wrakken haken in elkaar en slippen 9,5 m voordat ze stilstaan. De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen banden en weg is 0,7. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de snelheid v₁ van de eerste auto vlak vóór de botsing.

m₁ = 1400 kgm₂ = 800 kgd = 9,5 mμ = 0,7g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Veren en slingersGemiddeld

Hoe lang moet een mathematische slinger zijn om een slingertijd van 0,8 s te hebben? Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken L.

T = 0,8 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Veren en slingersMoeilijk

Een massa van 0,2 kg aan een veer met k = 470 N/m wordt 7 cm uit de evenwichtsstand getrokken en losgelaten. Bereken de maximale snelheid v_max.

m = 0,2 kgk = 470 N/mA = 7 cm

v_max = m/s

15.Golven, geluid & opticaGemiddeld

Licht beweegt in acryl (n = 1,49) naar een vlak grensvlak met lucht (n = 1,00). Bepaal de kritieke hoek θ_c waarboven het totaal wordt gereflecteerd.

n₁ = 1,49n₂ = 1,00

θ_c = °

16.Golven, geluid & opticaMoeilijk

Twee spleten op 0,1 mm van elkaar worden belicht met monochromatisch licht. Op een scherm op 3 m afstand ligt heldere franje nummer 1 op 15,96 mm van de centrale franje. Bepaal de golflengte λ.

d = 0,1 mmL = 3 my₁ = 15,96 mmm = 1

λ = nm

3Oplossingen

1.Kinematica

Antwoord: s = 34,72 m

Beweging met constante versnelling: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² en v² = v₀² + 2·a·s. Kies de formule die de drie bekende grootheden en de gezochte grootheid bevat, en houd de tekens consequent bij één positieve richting.

Eenheden

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Remweg

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·4) = 34,72 m

Antwoord

s = 34,72 m

2.Kinematica

Antwoord: t = 3,684 s

Bewegingsvergelijking

Omhoog is positief en de grond ligt h₀ onder het beginpunt.

−15 = 14·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 14·t − 15 = 0

Los de vierkantsvergelijking op

Alleen de positieve wortel is fysisch zinvol.

t = (14 + √(14² + 2·9,81·15))/9,81 = 3,684 s

Antwoord

t = 3,684 s

3.Wetten van Newton

Antwoord: F = 88,68 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Krachten langs de helling

Constante snelheid: de krachten zijn in evenwicht.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Duwkracht

F = 50,78 + 37,9 = 88,68 N

Antwoord

F = 88,68 N

4.Wetten van Newton

Antwoord: d = 5,133 m

Vertraging

Beide krachten wijzen de helling af; de massa valt weg.

a = 9,81·(sin 25° + 0,15·cos 25°) = 5,48 m/s²

Afstand

d = v₀²/(2a) = 7,5²/(2·5,48) = 5,133 m

Antwoord

d = 5,133 m

5.Kogelbaan

Antwoord: y = 16,4 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Tijd tot de muur

v_x = 32·cos 45° = 22,63 m/s

t = x/v_x = 84/22,63 = 3,712 s

Hoogte op dat moment

y = 22,63·3,712 − ½·9,81·3,712² = 16,4 m

Antwoord

y = 16,4 m

Bij de muur is de bal al op weg omlaag.

6.Kogelbaan

Antwoord: H = 67,85 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Verticale beginsnelheid

v_y = 29·sin 70° = 27,25 m/s

Stijging boven de klif

Δh = v_y²/(2g) = 27,25²/(2·9,81) = 37,85 m

Hoogte boven de grond

H = 30 + 37,85 = 67,85 m

Antwoord

H = 67,85 m

7.Cirkelbeweging

Antwoord: v_max = 26,2 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Normaalkracht nul

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·70) = 26,2 m/s

Antwoord

v_max = 26,2 m/s

(94,34 km/h)

8.Cirkelbeweging

Antwoord: v_min = 3,571 m/s

Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.

Spankracht nul in het hoogste punt

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,3) = 3,571 m/s

Antwoord

v_min = 3,571 m/s

9.Arbeid en energie

Antwoord: T = 5,497 N

Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d). Op een cirkelbaan moet de nettokracht naar het middelpunt gelijk zijn aan mv²/r.

Snelheid onderaan

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·1·(1 − cos 20°) = 1,183 m²/s²

Krachten onderaan

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

T = mg + mv²/L = 4,905 + 0,5·1,183/1 = 5,497 N

Antwoord

T = 5,497 N

Controle: T = mg(3 − 2cos θ) = 5,497 N.

10.Arbeid en energie

Antwoord: v = 6,241 m/s

Krachten langs de helling

m·g = 8·9,81 = 78,48 N

mg·sin θ = 33,17 N

μ·mg·cos θ = 10,67 N

Arbeid en energie

½mv² = (75 − 43,84)·5 = 155,8 J

v = √(2·155,8/8) = 6,241 m/s

Antwoord

v = 6,241 m/s

11.Impuls en botsingen

Antwoord: v = 1659 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Zwaai na de inslag

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,14) = 1,657 m/s

Botsing

m·v = (m + M)·V → v = (0,005 + 5)·1,657/0,005 = 1659 m/s

Antwoord

v = 1659 m/s

12.Impuls en botsingen

Antwoord: v₁ = 17,95 m/s

Snelheid na de botsing

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,7·9,81·9,5) = 11,42 m/s

Impuls bij de botsing

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2200·11,42/1400 = 17,95 m/s

Antwoord

v₁ = 17,95 m/s

(64,62 km/h)

13.Veren en slingers

Antwoord: L = 0,159 m

Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².

Los de lengte op

L = g·(T/2π)² = 9,81·(0,8/2π)² = 0,159 m

Antwoord

L = 0,159 m

14.Veren en slingers

Antwoord: v_max = 3,393 m/s

Hoekfrequentie

ω = √(470/0,2) = 48,48 rad/s

Maximale snelheid

v_max = A·ω = 0,07·48,48 = 3,393 m/s

Antwoord

v_max = 3,393 m/s

15.Golven, geluid & optica

Antwoord: θ_c = 42,16 °

Geometrische optica: aan een grensvlak geldt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (wet van Snellius), met hoeken gemeten vanaf de normaal en n = c/v. Bij overgang naar een trager medium buigt de straal naar de normaal toe. Vanuit een dichter medium (n₁ > n₂) wordt voorbij de kritieke hoek θ_c = arcsin(n₂/n₁) al het licht gereflecteerd: totale interne reflectie. Dunne lenzen en bolle of holle spiegels gehoorzamen aan 1/f = 1/d_o + 1/d_i met de vergroting m = −d_i/d_o. Tekenconventie: f > 0 voor een convergerende lens en een holle spiegel (f = R/2), f < 0 voor een divergerende lens en een bolle spiegel; d_i > 0 voor een reëel beeld, d_i < 0 voor een virtueel beeld, en m < 0 voor een omgekeerd beeld.

Breking onder 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,00/1,49 = 0,6711

Kritieke hoek

θc = arcsin(0,6711) = 42,16°

Antwoord

θ_c = 42,16°

16.Golven, geluid & optica

Antwoord: λ = 532 nm

Interferentie en diffractie: licht van twee spleten op afstand d van elkaar bereikt een punt op het scherm met een gangverschil d·sin θ. Heldere franjes verschijnen waar d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Voor een scherm op afstand L ≫ d ligt de m-de heldere franje op y = mλL/d en is de franjeafstand Δy = λL/d. Een tralie met N lijnen per millimeter heeft d = 1/N en scherpe maxima bij d·sin θ = mλ; omdat sin θ ≤ 1, is de hoogste orde het grootste gehele getal m ≤ d/λ. Een enkele spleet met breedte a heeft donkere franjes bij a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Golflengte

λ = y·d/(mL) = 0,01596·0,0001/(1·3) = 5,32 × 10⁻⁷ m = 532 nm

Antwoord

λ = 532 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics