Natuurkunde 1: Mechanica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Kinematica

Snelheid: v = v₀ + a·t
Verplaatsing: s = v₀·t + ½·a·t²
Zonder tijd: v² = v₀² + 2·a·s
Eenheden: 1 m/s = 3,6 km/h

Methode

Noteer wat je weet: v₀, v, a, t en s, met eenheden.
Kies de vergelijking met je drie bekenden en de onbekende.
Kies één positieve richting en geef tegengestelde grootheden een minteken.
Los op en controleer of het antwoord fysisch zinvol is.

Wetten van Newton

Tweede wet: ΣF = m·a
Gewicht: W = m·g
Kinetische wrijving: F_f = μ·N
Op een helling: langs: m·g·sin θ, loodrecht: m·g·cos θ

Methode

Teken een vrijlichaamsschema met elke kracht op het lichaam.
Kies een positieve richting langs de beweging.
Ontbind krachten in componenten langs en loodrecht op de beweging (op een helling: m·g·sin θ langs, m·g·cos θ de helling in).
Pas ΣF = m·a toe langs de beweging; wrijving is μ·N tegen de beweging in.

Kogelbaan

Componenten: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Positie: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Maximale hoogte: H = h + v_y²/(2g)
Worpafstand (vlakke grond): R = v₀²·sin 2θ/g

Methode

Ontbind de beginsnelheid in componenten: v_x = v₀·cos θ en v_y = v₀·sin θ.
De horizontale beweging heeft een constante snelheid; de verticale beweging heeft versnelling −g.
Bepaal de vluchttijd uit de verticale beweging.
Gebruik die tijd in de horizontale beweging om de dracht te vinden.

Cirkelbeweging

Centripetale versnelling: a = v²/r = ω²·r
Centripetale kracht: F = m·v²/r
Hoeksnelheid: ω = v/r = 2π/T
Vlakke bocht, wrijving: v_max = √(μ·g·r)

Arbeid en energie

Kinetische energie: E_k = ½mv²
Potentiële energie: E_p = mgh
Energiebalans: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Wrijvingsarbeid: W = μ·N·d
Vermogen: P = W/t

Impuls en botsingen

Impuls: p = m·v
Behoud: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Volkomen inelastisch: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Stoot: J = F·Δt = m·Δv

Methode

Kies een positieve richting en geef elke snelheid haar teken.
Schrijf de totale impuls vooraf op: Σm·v.
Bij een volkomen inelastische botsing bewegen de lichamen daarna samen; bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden.
Stel de impuls vooraf gelijk aan de impuls achteraf en los op.

Veren en slingers

Massa aan een veer: T = 2π·√(m/k)
Slinger: T = 2π·√(L/g)
Hoekfrequentie: ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale snelheid en versnelling: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energie: E = ½·k·A²

Golven, geluid & optica

Golfsnelheid: v = fλ, T = 1/f
Snaar: v = √(T/μ), μ = m/L
Geluidsniveau: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Puntbron: I = P/(4πr²)
Staande golven: snaar of aan beide kanten open buis f_n = n·v/(2L); aan één kant gesloten buis f_n = n·v/(4L), n oneven
Dopplereffect: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Brekingsindex: n = c/v, λ = λ₀/n
Wet van Snellius: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Kritieke hoek: sin θ_c = n₂/n₁
Glasvezel: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lenzen en spiegels: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dubbele spleet: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Tralie: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Enkele spleet: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

Bepaal het soort opgave: golfsnelheid, geluidsniveau, staande golf, Doppler, breking, lens of spiegel, of interferentie.
Schrijf eerst de formule op: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) of n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Reken eenheden om: nm, mm en cm naar m, en controleer of hoeken vanaf de normaal worden gemeten.
Controleer tekens en aannemelijkheid: een virtueel beeld heeft dᵢ < 0, een naderende bron klinkt hoger, een aan één kant gesloten buis heeft alleen oneven harmonischen.

2Oefenopgaven

1.KinematicaGemiddeld

Een vliegtuig heeft 280 km/h nodig om op te stijgen en de bruikbare startbaan is 1300 m lang. Welke constante versnelling a heeft het vanuit stilstand nodig?

v₀ = 0v = 280 km/hs = 1300 m

a = m/s²

2.KinematicaMoeilijk

Een modelraket wordt vanuit rust recht omhoog gelanceerd. De motor geeft hem 1 s lang een constante opwaartse versnelling van 38 m/s², waarna de motor stopt en de raket vrij beweegt. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de grootste hoogte h_max die de raket bereikt.

a = 38 m/s²t₁ = 1 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Wetten van NewtonGemiddeld

Een doos glijdt met een beginsnelheid van 12 m/s over een horizontale vloer en komt na 24 m tot stilstand. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de kinetische wrijvingscoëfficiënt μ.

v₀ = 12 m/sd = 24 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Wetten van NewtonMoeilijk

Een blok krijgt een duw, zodat het met een snelheid van 4,5 m/s een helling onder 20° op begint te glijden. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,2. Gebruik g = 9,81 m/s². Hoe ver d glijdt het langs de helling voordat het stopt?

v₀ = 4,5 m/sθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

5.KogelbaanGemiddeld

Een bal wordt vanaf vlakke grond gelanceerd met 38 m/s en moet 45 m verderop landen. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de kleinste van de twee mogelijke elevatiehoeken θ.

v₀ = 38 m/sR = 45 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.KogelbaanMoeilijk

Een bal wordt gelanceerd met 24 m/s onder 40° boven de horizontaal vanaf de top van een klif van 50 m. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Onder welke hoek α onder de horizontaal raakt hij de grond?

v₀ = 24 m/sθ = 40°h = 50 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.CirkelbewegingGemiddeld

Een auto neemt een vlakke bocht met een straal van 135 m. De statische wrijvingscoëfficiënt tussen banden en weg is 0,7. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de hoogste snelheid v_max waarmee de auto de bocht kan nemen zonder te slippen.

r = 135 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.CirkelbewegingMoeilijk

Een bal van 1 kg aan een touw van 0,6 m wordt rondgeslingerd in een verticale cirkel. In het laagste punt beweegt hij met 9 m/s. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de spankracht T in het touw in het laagste punt.

m = 1 kgr = 0,6 mv = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Arbeid en energieGemiddeld

Een auto die met 80 km/h over een horizontale weg rijdt, remt hard en slipt met geblokkeerde wielen tot stilstand. De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen banden en weg is 0,5. Vind de remweg d.

v = 80 km/hμ = 0,5g = 9,81 m/s²

d = m

10.Arbeid en energieMoeilijk

Een veer met veerconstante 3000 N/m onderaan een helling van 35° wordt 10 cm ingedrukt tegen een blok van 5 kg en losgelaten. De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen blok en helling is 0,15. Hoe ver d gaat het blok vanaf het loslaatpunt de helling op voordat het stopt? (Verwaarloos de korte afstand waarover de veer duwt, d.w.z. neem wrijving en zwaartekracht over de hele afstand d.)

m = 5 kgk = 3000 N/mx = 10 cmθ = 35°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

11.Impuls en botsingenGemiddeld

Een karretje van 3,5 kg dat met 11 m/s rijdt, botst volkomen elastisch en frontaal op een stilstaand karretje van 3 kg op een wrijvingsloze baan. Bereken de snelheid v′₂ van het tweede karretje na de botsing.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Impuls en botsingenMoeilijk

Een kogel van 8 g wordt horizontaal afgevuurd in een blok van 1 kg dat aan lichte touwtjes van 1 m lang hangt, en blijft erin steken. De touwtjes zwaaien uit tot een grootste hoek van 35° met de verticaal. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de snelheid v van de kogel vóór de inslag.

m = 8 gM = 1 kgL = 1 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Veren en slingersGemiddeld

Hoe lang moet een mathematische slinger zijn om een slingertijd van 0,9 s te hebben? Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken L.

T = 0,9 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Veren en slingersMoeilijk

Een massa van 0,5 kg aan een veer met k = 20 N/m wordt 10 cm uit de evenwichtsstand getrokken en losgelaten. Bereken de maximale versnelling a_max.

m = 0,5 kgk = 20 N/mA = 10 cm

a_max = m/s²

15.Golven, geluid & opticaGemiddeld

Een bron van 500 Hz die met 10 m/s beweegt en een waarnemer die met 10 m/s beweegt, naderen elkaar. De geluidssnelheid is 343 m/s. Bepaal de frequentie f′ die de waarnemer hoort.

f = 500 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

16.Golven, geluid & opticaMoeilijk

Licht met golflengte 500 nm gaat door een enkele spleet van 0,15 mm breed. Bepaal de hoek θ₂ van donkere franje nummer 2 met de rechtdoorgaande richting.

λ = 500 nma = 0,15 mmm = 2

θ₂ = °

3Oplossingen

1.Kinematica

Antwoord: a = 2,327 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Eenheden

v = 280/3,6 = 77,78 m/s

Versnelling

a = v²/(2s) = 77,78²/(2·1300) = 2,327 m/s²

Antwoord

a = 2,327 m/s²

2.Kinematica

Antwoord: h_max = 92,6 m

Aangedreven fase

v₁ = 38·1 = 38 m/s

h₁ = ½·38·1² = 19 m

Vrije vlucht omhoog

Bovenaan is de snelheid nul.

Δh = v₁²/(2g) = 38²/(2·9,81) = 73,6 m

h_max = 19 + 73,6 = 92,6 m

Antwoord

h_max = 92,6 m

3.Wetten van Newton

Antwoord: μ = 0,3058

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Vertraging

a = v₀²/(2d) = 12²/(2·24) = 3 m/s²

Wrijvingscoëfficiënt

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3/9,81 = 0,3058

Antwoord

μ = 0,3058

4.Wetten van Newton

Antwoord: d = 1,948 m

Vertraging

Beide krachten wijzen de helling af; de massa valt weg.

a = 9,81·(sin 20° + 0,2·cos 20°) = 5,199 m/s²

Afstand

d = v₀²/(2a) = 4,5²/(2·5,199) = 1,948 m

Antwoord

d = 1,948 m

5.Kogelbaan

Antwoord: θ = 8,901 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Formule voor de worpafstand

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·45/38² = 0,3057

Hoek

2θ = 17,8° → θ = 8,901°

Antwoord

θ = 8,901°

De andere oplossing is 90° − θ = 81,1°.

6.Kogelbaan

Antwoord: α = 62,23 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Ontbind de beginsnelheid

v_x = 24·cos 40° = 18,39 m/s

v_y0 = 24·sin 40° = 15,43 m/s

Verticale snelheid bij de inslag

Energie, of v² = v₀² + 2as in de verticale richting.

v_y = √(15,43² + 2·9,81·50) = 34,91 m/s

Inslaghoek

tan α = v_y/v_x = 34,91/18,39 → α = 62,23°

Antwoord

α = 62,23°

7.Cirkelbeweging

Antwoord: v_max = 30,45 m/s

Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.

Wrijving levert de centripetale kracht

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·135) = 30,45 m/s

Antwoord

v_max = 30,45 m/s (109,6 km/h)

8.Cirkelbeweging

Antwoord: T = 144,8 N

Krachten in het laagste punt

Naar het middelpunt (omhoog) is positief.

T − m·g = m·v²/r

T = 1·9,81 + 1·9²/0,6 = 9,81 + 135 = 144,8 N

Antwoord

T = 144,8 N

9.Arbeid en energie

Antwoord: d = 50,34 m

Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).

Snelheid in basiseenheden

v = 80/3,6 = 22,22 m/s

Energiebalans

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 22,22²/(2·0,5·9,81) = 50,34 m

Antwoord

d = 50,34 m

Een twee keer zo hoge snelheid maakt de remweg vier keer zo lang.

10.Arbeid en energie

Antwoord: d = 0,4391 m

Veerenergie

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·3000·0,1² = 15 J

Energiebalans langs de helling

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 15/(49,05·(0,5736 + 0,15·0,8192)) = 0,4391 m

Antwoord

d = 0,4391 m

11.Impuls en botsingen

Antwoord: v′₂ = 11,85 m/s

Behoud van impuls: als er tijdens een botsing geen externe kracht werkt, is de totale impuls Σm·v vóór de botsing gelijk aan die erna. Snelheden hebben een richting, dus kies een positieve richting en geef snelheden in de andere richting een minteken. Bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden; bij een volkomen inelastische botsing blijven de lichamen aan elkaar vast zitten.

Elastische botsing met een stilstaand doel

Behoud van impuls en energie samen oplossen geeft deze twee resultaten.

v′₁ = (3,5 − 3)/(3,5 + 3)·11 = 0,8462 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 3)·11 = 11,85 m/s

Antwoord

v′₂ = 11,85 m/s

12.Impuls en botsingen

Antwoord: v = 237,3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Stijging van het blok

h = L·(1 − cos θ) = 1·(1 − cos 35°) = 0,1808 m

Snelheid na de inslag

V = √(2·9,81·0,1808) = 1,884 m/s

Botsing

v = (m + M)·V/m = 1,008·1,884/0,008 = 237,3 m/s

Antwoord

v = 237,3 m/s

13.Veren en slingers

Antwoord: L = 0,2013 m

Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².

Los de lengte op

L = g·(T/2π)² = 9,81·(0,9/2π)² = 0,2013 m

Antwoord

L = 0,2013 m

14.Veren en slingers

Antwoord: a_max = 4 m/s²

Hoekfrequentie

ω = √(20/0,5) = 6,325 rad/s

Maximale versnelling

a_max = A·ω² = 0,1·6,325² = 4 m/s²

Antwoord

a_max = 4 m/s²

15.Golven, geluid & optica

Antwoord: f′ = 530 Hz

Staande golven en het dopplereffect: een snaar die aan beide uiteinden vastzit, of een buis die aan beide uiteinden open is, past hele halve golflengten: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Een buis die aan één kant gesloten is heeft een knoop aan het gesloten einde en een buik aan het open einde: L = nλ/4 met alleen oneven n, f_n = n·v/(4L). Als bron of waarnemer langs de verbindingslijn beweegt, is f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): gebruik de bovenste tekens voor beweging naar elkaar toe. Twee golven met bijna gelijke frequentie geven zwevingen met |f₁ − f₂|.

Dopplerformule

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 500·(343 + 10)/(343 − 10)

f′ = 530 Hz

Antwoord

f′ = 530 Hz

16.Golven, geluid & optica

Antwoord: θ₂ = 0,382 °

Interferentie en diffractie: licht van twee spleten op afstand d van elkaar bereikt een punt op het scherm met een gangverschil d·sin θ. Heldere franjes verschijnen waar d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Voor een scherm op afstand L ≫ d ligt de m-de heldere franje op y = mλL/d en is de franjeafstand Δy = λL/d. Een tralie met N lijnen per millimeter heeft d = 1/N en scherpe maxima bij d·sin θ = mλ; omdat sin θ ≤ 1, is de hoogste orde het grootste gehele getal m ≤ d/λ. Een enkele spleet met breedte a heeft donkere franjes bij a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Voorwaarde voor een donkere franje

sin θ = mλ/a = 0,006667

θ = 0,382°

Antwoord

θ₂ = 0,382°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics