Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Veld van een puntlading: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading: F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Weerstanden parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Twee parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Wet van Ohm: V = I·R
Vermogen: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad: B = μ₀I/(2πr)
Midden van een platte spoel: B = μ₀NI/(2R)
Lange solenoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad: F = BIL·sin θ
Kracht op een lading: F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Zelfinductie: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Snelheidsselector en spectrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld

Twee identieke kleine metalen bolletjes hebben ladingen van −4 µC en −1 µC. Ze worden tegen elkaar aan gehouden en daarna weer op 30 cm van elkaar gezet. Vind de grootte van de kracht F tussen hen nu. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −4 µCq₂ = −1 µCr = 30 cm

F = N

2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk

Een elektron komt het homogene veld tussen twee evenwijdige platen binnen met 1 × 10⁷ m/s, evenwijdig aan de platen. De platen zijn 2 cm lang en het veld ertussen is 1300 N/C. Lading van het elektron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; verwaarloos de zwaartekracht. Hoe ver y is het zijwaarts afgebogen als het de platen verlaat? Geef het antwoord in mm.

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 2 cmE = 1300 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld

Vind de vervangingsweerstand R_eq die de bron V₁ ziet.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk

Vind de stroom I_R2 door R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 30 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de stroom i op t = 1 ms.

V_s = 6 VR = 22 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 30 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Hoe lang duurt het voordat v_C 15,6 V bereikt? Vind t.

V_s = 6 VR = 1 kΩC = 100 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

7.Magnetische velden & inductieGemiddeld

Een draad voert een stroom omhoog op de pagina door een homogeen magnetisch veld dat het papier uit wijst. Klik op de richting van de magnetische kracht op de draad.

I: omhoog op de paginaB: het papier uit

1omhoog op de pagina
2naar rechts
3omlaag op de pagina
4naar links

8.Magnetische velden & inductieMoeilijk

Een lange solenoïde zonder kern heeft 1000 windingen, een lengte van 30 cm en een diameter van 3 cm. Bepaal de energie W die in het magnetisch veld is opgeslagen als hij 2 A voert.

N = 1000l = 30 cm⌀ = 3 cmI = 2 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een weerstand en een condensator zijn parallel aangesloten op een voeding van 100 V (rms), 200 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩC = 2,2 µF

φ = °

10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling heeft R = 15 Ω, L = 50 mH en C = 0,01 µF. Vind de kwaliteitsfactor Q bij resonantie.

R = 15 ΩL = 50 mHC = 0,01 µF

Q =

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: F = 0,6243 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Lading na het aanraken

q′ = (−4 + −1)/2 = −2,5 µC

Nieuwe kracht

F = 8,99 × 10⁹·(2,5 × 10⁻⁶)²/0,3² = 0,6243 N

Antwoord

F = 0,6243 N

Beide bolletjes hebben nu hetzelfde teken, dus ze stoten elkaar af.

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: y = 0,4573 mm

Tijd tussen de platen

t = L/v₀ = 0,02/1 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s

Zijwaartse versnelling

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·1300/9,109 × 10⁻³¹ = 2,286 × 10¹⁴ m/s²

Doorbuiging

y = ½·a·t² = ½·2,286 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0,0004573 m = 0,4573 mm

Antwoord

y = 0,4573 mm

Het elektron wordt naar de positieve plaat geduwd, tegen de veldrichting in.

3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: R_eq = 8,194 Ω

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₃ + R₄ = 6 + 20 = 26 Ω

R₂ ∥ 26 = 5·26/(5+26) = 4,194 Ω

R_eq = R₁ + 4,194 = 4 + 4,194 = 8,194 Ω

Antwoord

R_eq = 8,194 Ω

4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R2 = 0,5128 A

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₅ + R₆ = 12 + 30 = 42 Ω

R₄ ∥ 42 = 9,333 Ω

R₃ + 9,333 = 19,33 Ω

R₂ ∥ 19,33 = 1,813 Ω

R_eq = R₁ + 1,813 = 30 + 1,813 = 31,81 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/31,81 = 0,5658 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 0,5658·30 = 1,026 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,026/2 = 0,5128 A

Antwoord

I_R2 = 0,5128 A

5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: i = 0,2425 A

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0,4545 ms

i(∞) = V_s/R = 6/22 = 0,2727 A

Stroom op het gegeven tijdstip

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,2727·(1 − e^−1/0,4545) = 0,2425 A

Antwoord

i = 0,2425 A

6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 91,63 ms

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms

v_C(t) = 6 + (30 − 6)·e^−t/τ

Los op naar de tijd

15,6 = 6 + (24)·e^−t/τ → e^−t/τ = (15,6 − 6)/(30 − 6) = 0,4

t = τ·ln((30 − 6)/(15,6 − 6)) = 100·ln(2,5) = 91,63 ms

Antwoord

t = 91,63 ms

7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: naar rechts

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Rechterhandregel

Wijs met de vingers langs de stroom of snelheid en krul ze naar B; de duim geeft de kracht op een positieve lading.

I: omhoog op de pagina, B: het papier uit

Richting van de kracht

naar rechts

Antwoord

F: naar rechts

8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: W = 5,922 mJ

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Zelfinductie

L = μ₀N²A/l = 2,961 mH

Opgeslagen energie

W = ½LI² = ½·0,002961·2² = 0,005922 J = 5,922 mJ

Antwoord

W = 5,922 mJ

9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = −12,47 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Takstromen

Beide takken zijn rechtstreeks op de voeding aangesloten, dus elke tak krijgt de volle spanning V.

I_R = V/R = 100/80 = 1,25 A

I_X = V/X_C = 100/361,7 = 0,2765 A

Totale stroom

De stroom door de weerstand is in fase met V en de reactieve stroom is 90° uit fase, dus ze tellen op als de zijden van een rechthoekige driehoek.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,25² + 0,2765²) = 1,28 A

Fasehoek

De condensatorstroom ijlt voor op V, dus de totale stroom ijlt voor en de hoek is negatief.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(0,2765/1,25) = −12,47°

Antwoord

φ = −12,47°

10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: Q = 149,1

Resonantiefrequentie

f₀ = 1/(2π·√(0,05·0,01·10⁻⁶)) = 7118 Hz

Kwaliteitsfactor

Q vergelijkt de reactantie bij resonantie met de weerstand: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,05/(0,01·10⁻⁶)) = 149,1

Antwoord

Q = 149,1

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism