Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Veld van een puntlading
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading
F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie
Req = R1 + R2 + …
Weerstanden parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Twee parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Wet van Ohm
V = I·R
Vermogen
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
  2. Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
  4. Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante
τ = RC | τ = L/R
Respons
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensator bij gelijkstroom
open klemmen; vC kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom
kortsluiting; iL kan niet verspringen
Eindtoestand
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
  2. Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
  3. Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
  4. Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad
B = μ0I/(2πr)
Midden van een platte spoel
B = μ0NI/(2R)
Lange solenoïde
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad
F = BIL·sin θ
Kracht op een lading
F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flux
Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Zelfinductie
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Snelheidsselector en spectrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
  2. Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
  3. Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
  4. Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Hoekfrequentie
ω = 2πf
Modulus en hoek
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren
V = I·Z

Methode

  1. Reken de frequentie om: ω = 2πf.
  2. Bereken elke reactantie: XL = ωL en XC = 1/(ωC).
  3. Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
  4. Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld
−−8 µC++3 µC−−4 µC30 cm + 10 cm

Drie puntladingen liggen op een rechte lijn: −8 µC links, −4 µC rechts op 40 cm afstand, en +3 µC ertussen, op 30 cm van de linker lading. Vind de grootte van de netto elektrische kracht F op de middelste lading. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = −8 µCqR = −4 µCqM = +3 µCrL = 30 cmrR = 10 cm
F = N
2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk
++P2 × 10 cm6 cm+2 µC+2 µC

Ladingen van +2 µC en +2 µC liggen 20 cm uit elkaar. Punt P ligt op 6 cm van het midden ertussen, op de middelloodlijn. Vind de grootte van de elektrische veldsterkte E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +2 µCq2 = +2 µCd = 20 cmh = 6 cm
E = N/C
3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld
R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩIR2​AR4​8 ΩB

Vind de stroom IR2 door R2.

V1 = 6 VR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 ΩR4 = 8 Ω
IR2 = A
4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk
R1​ = 12 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩIR2​AR4​25 ΩBR6​25 Ω

Vind de stroom IR2 door R2.

V1 = 18 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩR4 = 25 ΩR5 = 25 ΩR6 = 25 Ω
IR2 = A
5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld
+−Vs​6 Vt = 0R = 20 ΩL150 mHi(t)

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de stroom i op t = 5 ms.

Vs = 6 VR = 20 ΩL = 150 mHt = 5 ms
i = A
6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk
+−Vs​30 Vopent op t = 0R1​ = 6,8 kΩR2​ = 6,8 kΩC10 µF+−vC​

De schakelaar is al lang gesloten, dus de schakeling is in de stationaire toestand. Op t = 0 gaat de schakelaar open. Vind de condensatorspanning vC op t = 25 ms.

Vs = 30 VR1 = 6,8 kΩR2 = 6,8 kΩC = 10 µFt = 25 ms
vC = V
7.Magnetische velden & inductieGemiddeld
R = 4 Ωv = 8 m/sL = 60 cmB = 0,2 T

Een metalen staaf van 60 cm lang schuift met 8 m/s langs twee rails in een homogeen veld van 0,2 T het papier in. De rails zijn verbonden door een weerstand van 4 Ω; de staaf en rails hebben verwaarloosbare weerstand. Bepaal de kracht F die nodig is om de staaf met constante snelheid te laten bewegen (geen wrijving).

B = 0,2 TL = 60 cmv = 8 m/sR = 4 Ω
F = mN
8.Magnetische velden & inductieMoeilijk
E = 1 × 10⁵ V/m, B1​ = 0,5 TB2​ = 0,8 Tr = ?

Een deuteron gaat onafgebogen door een snelheidsselector met gekruiste velden E = 1 × 10⁵ V/m en B₁ = 0,5 T. Daarna komt het in een tweede gebied met alleen een magnetisch veld B₂ = 0,8 T, loodrecht. Bepaal de straal r van zijn baan daar.

E = 1 × 10⁵ V/mB1 = 0,5 TB2 = 0,8 Tm = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld
Vf0​ = 200 HzRL = ?C = 0,47 µF

Een serie-RLC-schakeling met C = 0,47 µF moet resoneren bij 200 Hz. Vind de benodigde zelfinductie L.

f0 = 200 HzC = 0,47 µF
L = mH
10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk
5 Vf0​R = 5 ΩL = 20 mHC = 1 µF

Een serie-RLC-schakeling wordt gevoed door een bron van 5 V (rms) waarvan de frequentie is ingesteld op de resonantiefrequentie van de schakeling. Vind de effectieve spanning VL over de spoel.

V = 5 V (rms)R = 5 ΩL = 20 mHC = 1 µF
VL = V

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: F = 8,391 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Kracht van elke lading

Rechts is positief.

FL = −k·8·3 × 10⁻¹²/0,3² = −2,397 N
FR = +k·4·3 × 10⁻¹²/0,1² = 10,79 N

Nettokracht

F = −2,397 + (10,79) = 8,391 N → |F| = 8,391 N

Antwoord

F = 8,391 N

De nettokracht wijst naar rechts.

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: E = 1,36 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Afstand en veld van één lading

r = √(10² + 6²) = 11,66 cm
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,1166² = 1,322 × 10⁶ N/C

Componenten

De componenten langs de verbindingslijn heffen elkaar op.

E = 2·E1·(h/r) = 2·1,322 × 10⁶·0,5145 = 1,36 × 10⁶ N/C

Antwoord

E = 1,36 × 10⁶ N/C

Het veld wijst langs de middelloodlijn, van de ladingen af.

3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: IR2 = 0,4024 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAR4​8 ΩB

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R3 + R4 = 3 + 8 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 4·11/(4+11) = 2,933 Ω
Req = R1 + 2,933 = 8 + 2,933 = 10,93 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

IR1 = V1/Req = 6/10,93 = 0,5488 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0,5488·8 = 1,61 V
IR2 = VA/R2 = 1,61/4 = 0,4024 A

Antwoord

IR2 = 0,4024 A
4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: IR2 = 1,094 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 12 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩAR4​25 ΩBR6​25 Ω

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R5 + R6 = 25 + 25 = 50 Ω
R4 ∥ 50 = 16,67 Ω
R3 + 16,67 = 24,67 Ω
R2 ∥ 24,67 = 2,675 Ω
Req = R1 + 2,675 = 12 + 2,675 = 14,67 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

IR1 = V1/Req = 18/14,67 = 1,227 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1,227·12 = 3,281 V
IR2 = VA/R2 = 3,281/3 = 1,094 A

Antwoord

IR2 = 1,094 A
5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: i = 0,146 A

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 150 mH / 20 Ω = 7,5 ms
i(∞) = Vs/R = 6/20 = 0,3 A

Stroom op het gegeven tijdstip

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,3·(1 − e−5/7,5) = 0,146 A

Antwoord

i = 0,146 A
6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: vC = 10,39 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Beginspanning van de condensator

In de stationaire toestand is de condensator een open circuit, dus R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler. De condensatorspanning kan niet verspringen als de schakelaar opent.

vC(0) = 30·6,8/(6,8 + 6,8) = 15 V

Tijdconstante nadat de schakelaar opent

τ = R2·C = 6,8·10 = 68 ms

Ontlading

vC(t) = 15·e−25/68 = 10,39 V

Antwoord

vC = 10,39 V
7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: F = 28,8 mN

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Bewegings-EMK

ε = BLv = 0,2·0,6·8 = 0,96 V

Stroom

I = ε/R = 0,96/4 = 0,24 A

Remkracht

Wet van Lenz: de kracht op de geïnduceerde stroom werkt de beweging tegen.

F = BIL = 0,2·0,24·0,6 = 0,0288 N

Antwoord

F = 28,8 mN
8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: r = 0,5218 cm

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Geselecteerde snelheid

Onafgebogen: de elektrische kracht qE is in evenwicht met de magnetische kracht qvB.

v = E/B1 = 1 × 10⁵/0,5 = 200000 m/s

Straal in het tweede veld

r = mv/(|q|B2) = 0,005218 m = 0,5218 cm

Antwoord

r = 0,5218 cm
9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: L = 1347 mH

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Resonantievoorwaarde

Bij resonantie heffen de inductieve en capacitieve reactantie elkaar op: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(1257²·0,47·10⁻⁶) = 1347 mH

Antwoord

L = 1347 mH
10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: VL = 141,4 V

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Resonantie

Bij resonantie heffen de reactanties elkaar op, dus de impedantie is gewoon R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·1·10⁻⁶) = 7071 rad/s
I = V/R = 5/5 = 1 A

Spanning over de spoel

XL = ω₀L = 7071·0,02 = 141,4 Ω
VL = I·XL = 1·141,4 = 141,4 V

Antwoord

VL = 141,4 V

Dit is Q = 28,28 keer de voedingsspanning.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism