Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Veld van een puntlading
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading
F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie
Req = R1 + R2 + …
Weerstanden parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Twee parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Wet van Ohm
V = I·R
Vermogen
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
  2. Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
  4. Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante
τ = RC | τ = L/R
Respons
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensator bij gelijkstroom
open klemmen; vC kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom
kortsluiting; iL kan niet verspringen
Eindtoestand
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
  2. Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
  3. Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
  4. Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad
B = μ0I/(2πr)
Midden van een platte spoel
B = μ0NI/(2R)
Lange solenoïde
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad
F = BIL·sin θ
Kracht op een lading
F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flux
Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Zelfinductie
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Snelheidsselector en spectrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
  2. Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
  3. Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
  4. Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Hoekfrequentie
ω = 2πf
Modulus en hoek
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren
V = I·Z

Methode

  1. Reken de frequentie om: ω = 2πf.
  2. Bereken elke reactantie: XL = ωL en XC = 1/(ωC).
  3. Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
  4. Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld
++8 µC++10 µCE = 0100 cm

Ladingen van +8 µC en +10 µC liggen 100 cm uit elkaar. Op welke afstand x van de lading van +8 µC, op de lijn ertussen, is het elektrische veld nul?

q1 = +8 µCq2 = +10 µCd = 100 cm
x = cm
2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk
++P2 × 3 cm4 cm+1 µC+1 µC

Ladingen van +1 µC en +1 µC liggen 6 cm uit elkaar. Punt P ligt op 4 cm van het midden ertussen, op de middelloodlijn. Vind de grootte van de elektrische veldsterkte E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +1 µCq2 = +1 µCd = 6 cmh = 4 cm
E = N/C
3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld
R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩIR2​AR4​20 ΩB

Vind de stroom IR2 door R2.

V1 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 12 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk
R1​ = 10 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​5 ΩAR4​8 ΩBR6​12 Ω

Vind de vervangingsweerstand Req die de bron V1 ziet.

V1 = 5 VR1 = 10 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 ΩR4 = 8 ΩR5 = 3 ΩR6 = 12 Ω
Req = Ω
5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld
R = 20 Ωt = 0L47 mHi(t)

De spoel voert een constante stroom van 1,5 A. Op t = 0 sluit de schakelaar de kring via R en wordt de bron verwijderd, zodat de spoelstroom via R uitdooft. Vind de spanning vR over R op t = 5 ms.

i(0) = 1,5 AR = 20 ΩL = 47 mHt = 5 ms
vR = V
6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk
+−Vs​9 Vt = 0R = 6,8 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 12 V

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 12 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Vind de condensatorspanning vC op t = 300 ms.

Vs = 9 VR = 6,8 kΩC = 47 µFvC(0) = 12 Vt = 300 ms
vC = V
7.Magnetische velden & inductieGemiddeld
dB/dt > 0I = ?

Een cirkelvormige lus ligt in een homogeen magnetisch veld dat het papier in wijst. De veldsterkte neemt toe. Klik op de richting van de geïnduceerde stroom in de lus, gezien in de tekening.

B: het papier indB/dt > 0
  1. 1rechtsdraaiend
  2. 2tegen de klok in
8.Magnetische velden & inductieMoeilijk
Bn = ?12 cm × 10 cmN = 500B = 0,4 T

Een spoel met 500 windingen, 12 cm × 10 cm, draait in een homogeen veld van 0,4 T om een as loodrecht op het veld. Met welke snelheid n (in toeren per minuut) moet hij draaien om een effectieve EMK van 53,31 V te geven?

N = 500A = 12 cm × 10 cmB = 0,4 TErms = 53,31 V
n = rpm
9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld
12 V60 HzR = 40 ΩL = 150 mHI

Een weerstand en een spoel zijn parallel aangesloten op een voeding van 12 V (rms), 60 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 150 mH
φ = °
10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk
120 V50 HzR1​ = 30 ΩR2​ = 50 ΩC = 22 µFI

Een weerstand R1 staat in serie met een parallelschakeling van R2 en een condensator C, aangesloten op een voeding van 120 V (rms), 50 Hz. Vind de effectieve stroom I.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR1 = 30 ΩR2 = 50 ΩC = 22 µF
I = A

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: x = 47,21 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Gelijke velden

8/x² = 10/(100 − x)²
(100 − x)/x = √(10/8) = 1,118

Positie

x = 100/(1 + 1,118) = 47,21 cm

Antwoord

x = 47,21 cm

Het nulpunt ligt altijd dichter bij de kleinere lading.

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: E = 5,754 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Afstand en veld van één lading

r = √(3² + 4²) = 5 cm
E1 = k·1 × 10⁻⁶/0,05² = 3,596 × 10⁶ N/C

Componenten

De componenten langs de verbindingslijn heffen elkaar op.

E = 2·E1·(h/r) = 2·3,596 × 10⁶·0,8 = 5,754 × 10⁶ N/C

Antwoord

E = 5,754 × 10⁶ N/C

Het veld wijst langs de middelloodlijn, van de ladingen af.

3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: IR2 = 0,5143 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAR4​20 ΩB

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R3 + R4 = 12 + 20 = 32 Ω
R2 ∥ 32 = 12·32/(12+32) = 8,727 Ω
Req = R1 + 8,727 = 4 + 8,727 = 12,73 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

IR1 = V1/Req = 9/12,73 = 0,7071 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0,7071·4 = 6,171 V
IR2 = VA/R2 = 6,171/12 = 0,5143 A

Antwoord

IR2 = 0,5143 A
4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: Req = 13,87 Ω

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 10 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​5 ΩAR4​8 ΩBR6​12 Ω

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R5 + R6 = 3 + 12 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 5,217 Ω
R3 + 5,217 = 17,22 Ω
R2 ∥ 17,22 = 3,875 Ω
Req = R1 + 3,875 = 10 + 3,875 = 13,87 Ω

Antwoord

Req = 13,87 Ω
5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: vR = 3,573 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante

τ = L/R = 47 mH / 20 Ω = 2,35 ms

Afname van de stroom

i(t) = 1,5·e−5/2,35 = 0,1787 A
vR = R·i = 20·0,1787 = 3,573 V

Antwoord

vR = 3,573 V
6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: vC = 10,17 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

vC(0) = 12 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 47 µF = 319,6 ms
vC(t) = 9 + (12 − 9)·e−t/τ

Spanning op het gegeven tijdstip

vC(300) = 9 + (3)·e−300/319,6 = 10,17 V

Antwoord

vC = 10,17 V
7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: tegen de klok in

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Fluxverandering

De flux het papier in neemt toe, of de flux het papier uit neemt af.

Veld van de geïnduceerde stroom

De geïnduceerde stroom werkt de verandering tegen.

Geïnduceerd veld binnen de lus: het papier uit.

Richting van de stroom

Rechterhandgreepregel: een stroom tegen de klok in geeft een veld het papier uit binnen de lus.

tegen de klok in

Antwoord

tegen de klok in
8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: n = 300 rpm

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Piek-EMK

E₀ = √2·Erms = 75,39 V

Hoeksnelheid

ω = E₀/(NBA) = 75,39/(500·0,4·0,012) = 31,41 rad/s

Toeren per minuut

n = 60·31,41/(2π) = 300 rpm

Antwoord

n = 300 rpm
9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = 35,27 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

XL = ωL = 2π·60·0,15 = 56,55 Ω

Takstromen

Beide takken zijn rechtstreeks op de voeding aangesloten, dus elke tak krijgt de volle spanning V.

IR = V/R = 12/40 = 0,3 A
IX = V/XL = 12/56,55 = 0,2122 A

Totale stroom

De stroom door de weerstand is in fase met V en de reactieve stroom is 90° uit fase, dus ze tellen op als de zijden van een rechthoekige driehoek.

I = √(IR² + IX²) = √(0,3² + 0,2122²) = 0,3675 A

Fasehoek

De spoelstroom ijlt na op V, dus de totale stroom ijlt na en de hoek is positief.

φ = arctan(IX/IR) = arctan(0,2122/0,3) = 35,27°

Antwoord

φ = 35,27°
10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: I = 1,574 A

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

XC = 1/(2π·50·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Parallelschakeling

Vermenigvuldig teller en noemer met de complex geconjugeerde om Zp te splitsen in een reëel en een imaginair deel.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 44,67 − j15,44 Ω

Totale impedantie

Z = 30 + 44,67 − j15,44 = 74,67 − j15,44 Ω
|Z| = √(74,67² + 15,44²) = 76,24 Ω

Stroom

I = V/|Z| = 120/76,24 = 1,574 A

Antwoord

I = 1,574 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism