Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Veld van een puntlading
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading
F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie
Req = R1 + R2 + …
Weerstanden parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Twee parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Wet van Ohm
V = I·R
Vermogen
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
  2. Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
  4. Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante
τ = RC | τ = L/R
Respons
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensator bij gelijkstroom
open klemmen; vC kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom
kortsluiting; iL kan niet verspringen
Eindtoestand
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
  2. Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
  3. Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
  4. Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad
B = μ0I/(2πr)
Midden van een platte spoel
B = μ0NI/(2R)
Lange solenoïde
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad
F = BIL·sin θ
Kracht op een lading
F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flux
Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Zelfinductie
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Snelheidsselector en spectrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
  2. Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
  3. Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
  4. Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Hoekfrequentie
ω = 2πf
Modulus en hoek
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren
V = I·Z

Methode

  1. Reken de frequentie om: ω = 2πf.
  2. Bereken elke reactantie: XL = ωL en XC = 1/(ωC).
  3. Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
  4. Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld
−−1 µC−−3 µCr = 50 cm

Twee identieke kleine metalen bolletjes hebben ladingen van −1 µC en −3 µC. Ze worden tegen elkaar aan gehouden en daarna weer op 50 cm van elkaar gezet. Vind de grootte van de kracht F tussen hen nu. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = −1 µCq2 = −3 µCr = 50 cm
F = N
2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk
+−P2 × 3 cm8 cm+2 µC−2 µC

Ladingen van +2 µC en −2 µC liggen 6 cm uit elkaar. Punt P ligt op 8 cm van het midden ertussen, op de middelloodlijn. Vind de grootte van de elektrische veldsterkte E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +2 µCq2 = −2 µCd = 6 cmh = 8 cm
E = N/C
3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld
R1​ = 3 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​10 ΩAR4​8 ΩB

Vind de vervangingsweerstand Req die de bron V1 ziet.

V1 = 18 VR1 = 3 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 ΩR4 = 8 Ω
Req = Ω
4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 3 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAR4​12 ΩBR6​8 Ω

Vind de stroom IR1 die de bron levert, en die door R1 loopt.

V1 = 18 VR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 ΩR4 = 12 ΩR5 = 2 ΩR6 = 8 Ω
IR1 = A
5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld
+−Vs​24 Vt = 0R = 22 ΩL68 mHi(t)

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de stroom i op t = 5 ms.

Vs = 24 VR = 22 ΩL = 68 mHt = 5 ms
i = A
6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk
+−Vs​5 Vt = 0R = 10 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 4 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Hoe lang duurt het voordat vC 4,4 V bereikt? Vind t.

Vs = 5 VR = 10 kΩC = 47 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.Magnetische velden & inductieGemiddeld
+v = 6 × 10⁶ m/sr = ?B = 0,5 T

Een alfadeeltje beweegt met 6 × 10⁶ m/s loodrecht op een homogeen magnetisch veld van 0,5 T. Bepaal de straal r van zijn cirkelbaan.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁶ m/sB = 0,5 T
r = cm
8.Magnetische velden & inductieMoeilijk
E = 4 × 10⁴ V/m, B1​ = 0,5 TB2​ = 1 Tr = ?

Een deuteron gaat onafgebogen door een snelheidsselector met gekruiste velden E = 4 × 10⁴ V/m en B₁ = 0,5 T. Daarna komt het in een tweede gebied met alleen een magnetisch veld B₂ = 1 T, loodrecht. Bepaal de straal r van zijn baan daar.

E = 4 × 10⁴ V/mB1 = 0,5 TB2 = 1 Tm = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld
10 V60 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 22 µFI

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 10 V (rms), 60 Hz. Vind de effectieve stroom I.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 22 µF
I = A
10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk
120 V200 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 10 µF+−VC​

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 120 V (rms), 200 Hz. Vind de effectieve spanning VC over de condensator.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 10 µF
VC = V

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: F = 0,1438 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Lading na het aanraken

q′ = (−1 + −3)/2 = −2 µC

Nieuwe kracht

F = 8,99 × 10⁹·(2 × 10⁻⁶)²/0,5² = 0,1438 N

Antwoord

F = 0,1438 N

Beide bolletjes hebben nu hetzelfde teken, dus ze stoten elkaar af.

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: E = 1,73 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Afstand en veld van één lading

r = √(3² + 8²) = 8,544 cm
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,08544² = 2,463 × 10⁶ N/C

Componenten

De componenten langs de middelloodlijn heffen elkaar op.

E = 2·E1·(a/r) = 2·2,463 × 10⁶·0,3511 = 1,73 × 10⁶ N/C

Antwoord

E = 1,73 × 10⁶ N/C

Het veld wijst evenwijdig aan de lijn van de positieve naar de negatieve lading.

3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: Req = 9,667 Ω

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 3 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​10 ΩAR4​8 ΩB

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R3 + R4 = 12 + 8 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 10·20/(10+20) = 6,667 Ω
Req = R1 + 6,667 = 3 + 6,667 = 9,667 Ω

Antwoord

Req = 9,667 Ω
4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: IR1 = 2,009 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 4 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAR4​12 ΩBR6​8 Ω

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R5 + R6 = 2 + 8 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 5,455 Ω
R3 + 5,455 = 8,455 Ω
R2 ∥ 8,455 = 4,96 Ω
Req = R1 + 4,96 = 4 + 4,96 = 8,96 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

IR1 = V1/Req = 18/8,96 = 2,009 A

Antwoord

IR1 = 2,009 A
5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: i = 0,8745 A

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 68 mH / 22 Ω = 3,091 ms
i(∞) = Vs/R = 24/22 = 1,091 A

Stroom op het gegeven tijdstip

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 1,091·(1 − e−5/3,091) = 0,8745 A

Antwoord

i = 0,8745 A
6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 240,1 ms

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 10 kΩ · 47 µF = 470 ms
vC(t) = 5 + (4 − 5)·e−t/τ

Los op naar de tijd

4,4 = 5 + (−1)·e−t/τ → e−t/τ = (4,4 − 5)/(4 − 5) = 0,6
t = τ·ln((4 − 5)/(4,4 − 5)) = 470·ln(1,667) = 240,1 ms

Antwoord

t = 240,1 ms
7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: r = 24,89 cm

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Krachtenevenwicht

De magnetische kracht staat altijd loodrecht op de snelheid, dus ze buigt de baan tot een cirkel.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Straal

r = 6,645 × 10⁻²⁷·6 × 10⁶/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,5) = 0,2489 m = 24,89 cm

Antwoord

r = 24,89 cm
8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: r = 0,167 cm

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Geselecteerde snelheid

Onafgebogen: de elektrische kracht qE is in evenwicht met de magnetische kracht qvB.

v = E/B1 = 4 × 10⁴/0,5 = 80000 m/s

Straal in het tweede veld

r = mv/(|q|B2) = 0,00167 m = 0,167 cm

Antwoord

r = 0,167 cm
9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: I = 0,1173 A

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−82,87)²) = 85,25 Ω

Stroom

Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.

I = V/|Z| = 10/85,25 = 0,1173 A

Antwoord

I = 0,1173 A
10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: VC = 156,5 V

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (46,09)²) = 61,02 Ω

Stroom

Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.

I = V/|Z| = 120/61,02 = 1,966 A

Spanning over de condensator

VC = I·XC = 1,966·79,58 = 156,5 V

Antwoord

VC = 156,5 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism