Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Veld van een puntlading
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading
F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie
Req = R1 + R2 + …
Weerstanden parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Twee parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Wet van Ohm
V = I·R
Vermogen
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
  2. Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
  4. Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante
τ = RC | τ = L/R
Respons
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensator bij gelijkstroom
open klemmen; vC kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom
kortsluiting; iL kan niet verspringen
Eindtoestand
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
  2. Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
  3. Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
  4. Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad
B = μ0I/(2πr)
Midden van een platte spoel
B = μ0NI/(2R)
Lange solenoïde
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad
F = BIL·sin θ
Kracht op een lading
F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flux
Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Zelfinductie
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Snelheidsselector en spectrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
  2. Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
  3. Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
  4. Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Hoekfrequentie
ω = 2πf
Modulus en hoek
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren
V = I·Z

Methode

  1. Reken de frequentie om: ω = 2πf.
  2. Bereken elke reactantie: XL = ωL en XC = 1/(ωC).
  3. Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
  4. Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld
++2 µC++6 µCP40 cm

Een lading van +2 µC en een lading van +6 µC bevinden zich op 40 cm van elkaar. Punt P ligt op de lijn ertussen, op 10 cm van de eerste lading. Bereken de grootte van de elektrische veldsterkte E in P.

q1 = +2 µCq2 = +6 µCr1 = 10 cmr2 = 30 cm
E = N/C
2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk
4 cm8 cm+q1​ = +8 µC+q3​ = +4 µC+q2​ = +10 µC

Drie positieve puntladingen bevinden zich op de hoekpunten van een rechthoekige driehoek: q₃ = 4 µC zit in het hoekpunt met de rechte hoek, q₁ = 8 µC zit 4 cm daarvandaan langs de ene rechthoekszijde en q₂ = 10 µC zit 8 cm daarvandaan langs de andere rechthoekszijde. Bereken de grootte van de resulterende elektrische kracht F op q₃.

q1 = 8 µCq2 = 10 µCq3 = 4 µCr13 = 4 cmr23 = 8 cm
F = N
3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld
R1​ = 10 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAR4​15 ΩB

Vind de vervangingsweerstand Req die de bron V1 ziet.

V1 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 8 ΩR3 = 5 ΩR4 = 15 Ω
Req = Ω
4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk
R1​ = 5 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩIR2​AR4​20 ΩBR6​8 Ω

Vind de stroom IR2 door R2.

V1 = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 2 ΩR3 = 5 ΩR4 = 20 ΩR5 = 15 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld
+−Vs​6 Vt = 0R1​ = 4,7 kΩR2​ = 2,2 kΩC220 µF+−vC​

De bron Vₛ laadt de condensator op via R₁, en R₂ staat parallel aan C. De condensator is ongeladen als de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de condensatorspanning vC op t = 400 ms.

Vs = 6 VR1 = 4,7 kΩR2 = 2,2 kΩC = 220 µFt = 400 ms
vC = V
6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk
+−Vs​12 Vopent op t = 0R1​ = 4,7 kΩR2​ = 1 kΩC68 µF+−vC​

De schakelaar is al lang gesloten, dus de schakeling is in de stationaire toestand. Op t = 0 gaat de schakelaar open. Vind de condensatorspanning vC op t = 30 ms.

Vs = 12 VR1 = 4,7 kΩR2 = 1 kΩC = 68 µFt = 30 ms
vC = V
7.Magnetische velden & inductieGemiddeld
−v = 2,5 × 10⁶ m/sr = 0,07108 cmB = ?

Een elektron die met 2,5 × 10⁶ m/s loodrecht een homogeen magnetisch veld binnenkomt, beweegt op een cirkel met straal 0,07108 cm. Bepaal de magnetische fluxdichtheid B.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2,5 × 10⁶ m/sr = 0,07108 cm
B = mT
8.Magnetische velden & inductieMoeilijk
E = 2 × 10⁵ V/m, B1​ = 0,05 T

In een snelheidsselector laten gekruiste velden E = 2 × 10⁵ V/m en B = 0,05 T alleen ionen met één snelheid rechtdoor gaan. Bepaal die snelheid v.

E = 2 × 10⁵ V/mB1 = 0,05 T
v = m/s
9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld
230 V100 HzR = 20 ΩL = 200 mHC = 22 µFI

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 230 V (rms), 100 Hz. Vind de effectieve stroom I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 200 mHC = 22 µF
I = A
10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk
VfR = 100 ΩL = 20 mHC = 0,022 µF

Een serie-RLC-schakeling heeft R = 100 Ω, L = 20 mH en C = 0,022 µF. Vind de bandbreedte B (de breedte van de band tussen de halfvermogensfrequenties), in Hz.

R = 100 ΩL = 20 mHC = 0,022 µF
B = Hz

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: E = 1,199 × 10⁶ N/C

Wet van Coulomb: twee puntladingen trekken elkaar aan of stoten elkaar af met F = k·|q₁·q₂|/r², met k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Het veld van een puntlading is E = k·|q|/r², gericht van een positieve lading af en naar een negatieve lading toe. Krachten en velden van meerdere ladingen tel je op als vectoren.

Veld van elke lading

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,1² = 1,798 × 10⁶ N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0,3² = 599333 N/C

Richtingen en som

Beide ladingen zijn positief: in P wijzen hun velden van de eigen lading af, dus in tegengestelde richting.

E = |1,798 × 10⁶ − 599333| = 1,199 × 10⁶ N/C

Antwoord

E = 1,199 × 10⁶ N/C
2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: F = 188,4 N

Wet van Coulomb: twee puntladingen trekken elkaar aan of stoten elkaar af met F = k·|q₁·q₂|/r², met k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Het veld van een puntlading is E = k·|q|/r², gericht van een positieve lading af en naar een negatieve lading toe. Krachten en velden van meerdere ladingen tel je op als vectoren.

Elke kracht op q₃

F1 = k·8·4 × 10⁻¹²/0,04² = 179,8 N
F2 = k·10·4 × 10⁻¹²/0,08² = 56,19 N

Vectorsom

F = √(179,8² + 56,19²) = 188,4 N

Antwoord

F = 188,4 N
3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: Req = 15,71 Ω

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 10 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAR4​15 ΩB

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R3 + R4 = 5 + 15 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 8·20/(8+20) = 5,714 Ω
Req = R1 + 5,714 = 10 + 5,714 = 15,71 Ω

Antwoord

Req = 15,71 Ω
4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: IR2 = 1,178 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 5 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAR4​20 ΩBR6​8 Ω

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R5 + R6 = 15 + 8 = 23 Ω
R4 ∥ 23 = 10,7 Ω
R3 + 10,7 = 15,7 Ω
R2 ∥ 15,7 = 1,774 Ω
Req = R1 + 1,774 = 5 + 1,774 = 6,774 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

IR1 = V1/Req = 9/6,774 = 1,329 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 1,329·5 = 2,357 V
IR2 = VA/R2 = 2,357/2 = 1,178 A

Antwoord

IR2 = 1,178 A
5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: vC = 1,344 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Thévenin-equivalent gezien vanaf de condensator

Sluit de bron kort om Rth te vinden; laat de condensator open om de spanning te vinden waarop hij uitkomt.

Rth = R1 ∥ R2 = 4,7·2,2/(4,7 + 2,2) = 1,499 kΩ
vC(∞) = 6·2,2/(4,7 + 2,2) = 1,913 V

Tijdconstante

τ = Rth·C = 1,499·220 = 329,7 ms

Laadcurve

vC(t) = 1,913·(1 − e−400/329,7) = 1,344 V

Antwoord

vC = 1,344 V
6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: vC = 1,354 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Beginspanning van de condensator

In de stationaire toestand is de condensator een open circuit, dus R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler. De condensatorspanning kan niet verspringen als de schakelaar opent.

vC(0) = 12·1/(4,7 + 1) = 2,105 V

Tijdconstante nadat de schakelaar opent

τ = R2·C = 1·68 = 68 ms

Ontlading

vC(t) = 2,105·e−30/68 = 1,354 V

Antwoord

vC = 1,354 V
7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: B = 20 mT

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Veld uit de straal

B = mv/(|q|r) = 9,109 × 10⁻³¹·2,5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,0007108) = 20 mT

Antwoord

B = 20 mT
8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: v = 4 × 10⁶ m/s

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Geselecteerde snelheid

Onafgebogen: de elektrische kracht qE is in evenwicht met de magnetische kracht qvB.

v = E/B1 = 2 × 10⁵/0,05 = 4 × 10⁶ m/s

Antwoord

v = 4 × 10⁶ m/s
9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: I = 4,039 A

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (53,32)²) = 56,95 Ω

Stroom

Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.

I = V/|Z| = 230/56,95 = 4,039 A

Antwoord

I = 4,039 A
10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: B = 795,8 Hz

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Resonantiefrequentie

f0 = 1/(2π·√(0,02·0,022·10⁻⁶)) = 7587 Hz

Kwaliteitsfactor

Q vergelijkt de reactantie bij resonantie met de weerstand: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,02/(0,022·10⁻⁶)) = 9,535

Bandbreedte

B = f0/Q = 7587/9,535 = 795,8 Hz

Antwoord

B = 795,8 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism