Wet van Coulomb en elektrische velden
- Wet van Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Veld van een puntlading
- E = k·|q|/r²
- Constante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Kracht op een lading
- F = q·E
Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Serie- en parallelweerstanden
- Weerstanden in serie
- Req = R1 + R2 + …
- Weerstanden parallel
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Twee parallel
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Wet van Ohm
- V = I·R
- Vermogen
- P = V·I = I²R = V²/R
Methode
- Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
- Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
- Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.
RC- en RL-schakelverschijnselen
- Tijdconstante
- τ = RC | τ = L/R
- Respons
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Condensator bij gelijkstroom
- open klemmen; vC kan niet verspringen
- Spoel bij gelijkstroom
- kortsluiting; iL kan niet verspringen
- Eindtoestand
- t ≈ 5τ
Methode
- Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
- Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
- Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
- Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Magnetische velden & inductie
- Lange rechte draad
- B = μ0I/(2πr)
- Midden van een platte spoel
- B = μ0NI/(2R)
- Lange solenoïde
- B = μ0nI, n = N/L
- Constante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Kracht op een draad
- F = BIL·sin θ
- Kracht op een lading
- F = |q|vB·sin θ
- Cirkelbeweging
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Evenwijdige draden
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Flux
- Φ = BA·cos θ
- Wet van Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Bewegende staaf
- ε = BLv
- Generator
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Zelfinductie
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Wederzijdse inductie
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Snelheidsselector en spectrometer
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Methode
- Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
- Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
- Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
- Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.
Wisselstroomimpedantie en fasoren
- Impedanties
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Hoekfrequentie
- ω = 2πf
- Modulus en hoek
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Wet van Ohm met fasoren
- V = I·Z
Methode
- Reken de frequentie om: ω = 2πf.
- Bereken elke reactantie: XL = ωL en XC = 1/(ωC).
- Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
- Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.
2Oefenopgaven
1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld
Een lading van +3 µC en een lading van +2 µC bevinden zich op 40 cm van elkaar. Punt P ligt op de lijn ertussen, op 30 cm van de eerste lading. Bereken de grootte van de elektrische veldsterkte E in P.
q1 = +3 µCq2 = +2 µCr1 = 30 cmr2 = 10 cm
E = N/C
2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk
Een elektron komt het homogene veld tussen twee evenwijdige platen binnen met 5 × 10⁷ m/s, evenwijdig aan de platen. De platen zijn 5 cm lang en het veld ertussen is 4300 N/C. Lading van het elektron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; verwaarloos de zwaartekracht. Hoe ver y is het zijwaarts afgebogen als het de platen verlaat? Geef het antwoord in mm.
v₀ = 5 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 4300 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld
Vind de stroom IR2 door R2.
V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 3 ΩR3 = 2 ΩR4 = 2 Ω
IR2 = A
4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk
Vind de stroom IR1 die de bron levert, en die door R1 loopt.
V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 25 ΩR3 = 2 ΩR4 = 3 ΩR5 = 10 ΩR6 = 15 Ω
IR1 = A
5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld
De bron Vₛ laadt de condensator op via R₁, en R₂ staat parallel aan C. De condensator is ongeladen als de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de condensatorspanning vC op t = 500 ms.
Vs = 15 VR1 = 4,7 kΩR2 = 4,7 kΩC = 100 µFt = 500 ms
vC = V
6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk
Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 4 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Hoe lang duurt het voordat vC 4,3 V bereikt? Vind t.
Vs = 5 VR = 3,3 kΩC = 10 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.Magnetische velden & inductieGemiddeld
Een proton die met 4 × 10⁵ m/s loodrecht een homogeen magnetisch veld binnenkomt, beweegt op een cirkel met straal 1,044 cm. Bepaal de magnetische fluxdichtheid B.
m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 4 × 10⁵ m/sr = 1,044 cm
B = T
8.Magnetische velden & inductieMoeilijk
Een proton begint in rust, wordt versneld over een potentiaalverschil van 1000 V en komt dan loodrecht een homogeen magnetisch veld van 0,25 T binnen. Bepaal de straal r van zijn baan in het veld.
m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 1000 VB = 0,25 T
r = cm
9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld
Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 120 V (rms), 200 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).
V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF
φ = °
10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk
Een serie-RLC-schakeling heeft R = 50 Ω, L = 200 mH en C = 2,2 µF. Vind de kwaliteitsfactor Q bij resonantie.
R = 50 ΩL = 200 mHC = 2,2 µF
Q =
3Oplossingen
1.Wet van Coulomb en elektrische velden
Antwoord: E = 1,498 × 10⁶ N/C
Wet van Coulomb: twee puntladingen trekken elkaar aan of stoten elkaar af met F = k·|q₁·q₂|/r², met k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Het veld van een puntlading is E = k·|q|/r², gericht van een positieve lading af en naar een negatieve lading toe. Krachten en velden van meerdere ladingen tel je op als vectoren.
Veld van elke lading
E1 = k·3 × 10⁻⁶/0,3² = 299667 N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0,1² = 1,798 × 10⁶ N/C
Richtingen en som
Beide ladingen zijn positief: in P wijzen hun velden van de eigen lading af, dus in tegengestelde richting.
E = |299667 − 1,798 × 10⁶| = 1,498 × 10⁶ N/C
Antwoord
E = 1,498 × 10⁶ N/C
2.Wet van Coulomb en elektrische velden
Antwoord: y = 0,3781 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Tijd tussen de platen
t = L/v₀ = 0,05/5 × 10⁷ = 1 × 10⁻⁹ s
Zijwaartse versnelling
a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4300/9,109 × 10⁻³¹ = 7,562 × 10¹⁴ m/s²
Doorbuiging
y = ½·a·t² = ½·7,562 × 10¹⁴·(1 × 10⁻⁹)² = 0,0003781 m = 0,3781 mm
Antwoord
y = 0,3781 mm
Het elektron wordt naar de positieve plaat geduwd, tegen de veldrichting in.
3.Serie- en parallelweerstanden
Antwoord: IR2 = 1,333 A
Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.
Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde
Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.
R3 + R4 = 2 + 2 = 4 Ω
R2 ∥ 4 = 3·4/(3+4) = 1,714 Ω
Req = R1 + 1,714 = 6 + 1,714 = 7,714 Ω
Stroom uit de bron
De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.
IR1 = V1/Req = 18/7,714 = 2,333 A
Stroom door R₂
Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 2,333·6 = 4 V
IR2 = VA/R2 = 4/3 = 1,333 A
Antwoord
IR2 = 1,333 A
4.Serie- en parallelweerstanden
Antwoord: IR1 = 2,152 A
Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.
Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde
Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.
R5 + R6 = 10 + 15 = 25 Ω
R4 ∥ 25 = 2,679 Ω
R3 + 2,679 = 4,679 Ω
R2 ∥ 4,679 = 3,941 Ω
Req = R1 + 3,941 = 10 + 3,941 = 13,94 Ω
Stroom uit de bron
De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.
IR1 = V1/Req = 30/13,94 = 2,152 A
Antwoord
IR1 = 2,152 A
5.RC- en RL-schakelverschijnselen
Antwoord: vC = 6,607 V
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Thévenin-equivalent gezien vanaf de condensator
Sluit de bron kort om Rth te vinden; laat de condensator open om de spanning te vinden waarop hij uitkomt.
Rth = R1 ∥ R2 = 4,7·4,7/(4,7 + 4,7) = 2,35 kΩ
vC(∞) = 15·4,7/(4,7 + 4,7) = 7,5 V
Tijdconstante
τ = Rth·C = 2,35·100 = 235 ms
Laadcurve
vC(t) = 7,5·(1 − e−500/235) = 6,607 V
Antwoord
vC = 6,607 V
6.RC- en RL-schakelverschijnselen
Antwoord: t = 11,77 ms
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante
De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.
vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 10 µF = 33 ms
vC(t) = 5 + (4 − 5)·e−t/τ
Los op naar de tijd
4,3 = 5 + (−1)·e−t/τ → e−t/τ = (4,3 − 5)/(4 − 5) = 0,7
t = τ·ln((4 − 5)/(4,3 − 5)) = 33·ln(1,429) = 11,77 ms
Antwoord
t = 11,77 ms
7.Magnetische velden & inductie
Antwoord: B = 0,4001 T
Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Veld uit de straal
B = mv/(|q|r) = 1,673 × 10⁻²⁷·4 × 10⁵/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,01044) = 0,4001 T
Antwoord
B = 0,4001 T
8.Magnetische velden & inductie
Antwoord: r = 1,828 cm
Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Snelheid na de versnelling
v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·1000/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 437621 m/s
Straal in het veld
r = mv/(|q|B) = 0,01828 m = 1,828 cm
Antwoord
r = 1,828 cm
Gecombineerd: r = √(2mV/|q|)/B, dus zwaardere ionen met dezelfde lading bewegen op grotere cirkels; zo worden isotopen gescheiden.
9.Wisselstroomimpedantie en fasoren
Antwoord: φ = −80,16 °
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
Reactanties
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω
Impedantie
In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (−144,2)²) = 146,3 Ω
Fasehoek
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−144,2/25) = −80,16°
Antwoord
φ = −80,16°
10.Wisselstroomimpedantie en fasoren
Antwoord: Q = 6,03
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
Resonantiefrequentie
f0 = 1/(2π·√(0,2·2,2·10⁻⁶)) = 239,9 Hz
Kwaliteitsfactor
Q vergelijkt de reactantie bij resonantie met de weerstand: Q = ω₀L/R.
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,2/(2,2·10⁻⁶)) = 6,03
Antwoord
Q = 6,03
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism