Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Veld van een puntlading
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading
F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie
Req = R1 + R2 + …
Weerstanden parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Twee parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Wet van Ohm
V = I·R
Vermogen
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
  2. Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
  4. Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante
τ = RC | τ = L/R
Respons
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensator bij gelijkstroom
open klemmen; vC kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom
kortsluiting; iL kan niet verspringen
Eindtoestand
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
  2. Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
  3. Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
  4. Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad
B = μ0I/(2πr)
Midden van een platte spoel
B = μ0NI/(2R)
Lange solenoïde
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad
F = BIL·sin θ
Kracht op een lading
F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flux
Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Zelfinductie
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Snelheidsselector en spectrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
  2. Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
  3. Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
  4. Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Hoekfrequentie
ω = 2πf
Modulus en hoek
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren
V = I·Z

Methode

  1. Reken de frequentie om: ω = 2πf.
  2. Bereken elke reactantie: XL = ωL en XC = 1/(ωC).
  3. Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
  4. Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld
++10 µC++5 µCE = 080 cm

Ladingen van +10 µC en +5 µC liggen 80 cm uit elkaar. Op welke afstand x van de lading van +10 µC, op de lijn ertussen, is het elektrische veld nul?

q1 = +10 µCq2 = +5 µCd = 80 cm
x = cm
2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk
+ + + + + +− − − − − −e⁻1 × 10⁷ m/s3 cmE = 4600 N/C

Een elektron komt het homogene veld tussen twee evenwijdige platen binnen met 1 × 10⁷ m/s, evenwijdig aan de platen. De platen zijn 3 cm lang en het veld ertussen is 4600 N/C. Lading van het elektron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; verwaarloos de zwaartekracht. Hoe ver y is het zijwaarts afgebogen als het de platen verlaat? Geef het antwoord in mm.

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 3 cmE = 4600 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld
R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​12 ΩIR2​AR4​5 ΩB

Vind de stroom IR2 door R2.

V1 = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 12 ΩR3 = 6 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​6 ΩIR2​AR4​8 ΩBR6​12 Ω

Vind de stroom IR2 door R2.

V1 = 5 VR1 = 12 ΩR2 = 6 ΩR3 = 15 ΩR4 = 8 ΩR5 = 20 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld
R = 15 Ωt = 0L33 mHi(t)

De spoel voert een constante stroom van 1 A. Op t = 0 sluit de schakelaar de kring via R en wordt de bron verwijderd, zodat de spoelstroom via R uitdooft. Vind de spanning vR over R op t = 5 ms.

i(0) = 1 AR = 15 ΩL = 33 mHt = 5 ms
vR = V
6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk
+−Vs​20 VR1​ = 5 ΩR2​ = 47 Ωsluit op t = 0L100 mHi(t)

De schakelaar over R2 is al lang open, dus de spoelstroom is constant. Op t = 0 sluit de schakelaar en sluit R2 kort. Hoe lang na t = 0 bereikt de spoelstroom 2,554 A? Vind t.

Vs = 20 VR1 = 5 ΩR2 = 47 ΩL = 100 mH
t = ms
7.Magnetische velden & inductieGemiddeld
+v = 2,5 × 10⁶ m/sr = ?B = 1,5 T

Een proton beweegt met 2,5 × 10⁶ m/s loodrecht op een homogeen magnetisch veld van 1,5 T. Bepaal de straal r van zijn cirkelbaan.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2,5 × 10⁶ m/sB = 1,5 T
r = cm
8.Magnetische velden & inductieMoeilijk
Bn = 600 rpm10 cm × 25 cmN = 200B = 0,3 T

Een spoel met 200 windingen, 10 cm × 25 cm, draait met 600 rpm in een homogeen veld van 0,3 T om een as loodrecht op het veld. Bepaal de effectieve waarde Erms van de EMK.

N = 200A = 10 cm × 25 cmB = 0,3 Tn = 600 rpm
Erms = V
9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld
50 V200 HzR = 50 ΩL = 100 mHI

Een weerstand en een spoel zijn parallel aangesloten op een voeding van 50 V (rms), 200 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 100 mH
φ = °
10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk
120 V60 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 47 µF

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 120 V (rms), 60 Hz. Vind de resonantiefrequentie f0 van de schakeling.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 47 µF
f0 = Hz

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: x = 46,86 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Gelijke velden

10/x² = 5/(80 − x)²
(80 − x)/x = √(5/10) = 0,7071

Positie

x = 80/(1 + 0,7071) = 46,86 cm

Antwoord

x = 46,86 cm

Het nulpunt ligt altijd dichter bij de kleinere lading.

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: y = 3,641 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Tijd tussen de platen

t = L/v₀ = 0,03/1 × 10⁷ = 3 × 10⁻⁹ s

Zijwaartse versnelling

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4600/9,109 × 10⁻³¹ = 8,09 × 10¹⁴ m/s²

Doorbuiging

y = ½·a·t² = ½·8,09 × 10¹⁴·(3 × 10⁻⁹)² = 0,003641 m = 3,641 mm

Antwoord

y = 3,641 mm

Het elektron wordt naar de positieve plaat geduwd, tegen de veldrichting in.

3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: IR2 = 0,2767 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​12 ΩAR4​5 ΩB

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R3 + R4 = 6 + 5 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 12·11/(12+11) = 5,739 Ω
Req = R1 + 5,739 = 15 + 5,739 = 20,74 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

IR1 = V1/Req = 12/20,74 = 0,5786 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0,5786·15 = 3,321 V
IR2 = VA/R2 = 3,321/12 = 0,2767 A

Antwoord

IR2 = 0,2767 A
4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: IR2 = 0,234 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 12 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​6 ΩAR4​8 ΩBR6​12 Ω

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R5 + R6 = 20 + 12 = 32 Ω
R4 ∥ 32 = 6,4 Ω
R3 + 6,4 = 21,4 Ω
R2 ∥ 21,4 = 4,686 Ω
Req = R1 + 4,686 = 12 + 4,686 = 16,69 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

IR1 = V1/Req = 5/16,69 = 0,2997 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0,2997·12 = 1,404 V
IR2 = VA/R2 = 1,404/6 = 0,234 A

Antwoord

IR2 = 0,234 A
5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: vR = 1,545 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante

τ = L/R = 33 mH / 15 Ω = 2,2 ms

Afname van de stroom

i(t) = 1·e−5/2,2 = 0,103 A
vR = R·i = 15·0,103 = 1,545 V

Antwoord

vR = 1,545 V
6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 18,33 ms

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

Vóór t = 0 zitten beide weerstanden in de kring; daarna overbrugt de gesloten schakelaar R₂.

i(0) = 20/(5 + 47) = 0,3846 A
i(∞) = 20/5 = 4 A
τ = L/R = 100/5 = 20 ms
i(t) = 4 + (0,3846 − 4)·e−t/τ

Los op naar de tijd

e−t/τ = (2,554 − 4)/(0,3846 − 4) = 0,4
t = 20·ln(2,5) = 18,33 ms

Antwoord

t = 18,33 ms
7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: r = 1,741 cm

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Krachtenevenwicht

De magnetische kracht staat altijd loodrecht op de snelheid, dus ze buigt de baan tot een cirkel.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Straal

r = 1,673 × 10⁻²⁷·2,5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·1,5) = 0,01741 m = 1,741 cm

Antwoord

r = 1,741 cm
8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: Erms = 66,64 V

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Hoeksnelheid en oppervlakte

ω = 2π·600/60 = 62,83 rad/s
A = 0,025 m²

Piek-EMK

E₀ = NBAω = 200·0,3·0,025·62,83 = 94,25 V

Effectieve waarde

Erms = 94,25/√2 = 66,64 V

Antwoord

Erms = 66,64 V
9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = 21,7 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

XL = ωL = 2π·200·0,1 = 125,7 Ω

Takstromen

Beide takken zijn rechtstreeks op de voeding aangesloten, dus elke tak krijgt de volle spanning V.

IR = V/R = 50/50 = 1 A
IX = V/XL = 50/125,7 = 0,3979 A

Totale stroom

De stroom door de weerstand is in fase met V en de reactieve stroom is 90° uit fase, dus ze tellen op als de zijden van een rechthoekige driehoek.

I = √(IR² + IX²) = √(1² + 0,3979²) = 1,076 A

Fasehoek

De spoelstroom ijlt na op V, dus de totale stroom ijlt na en de hoek is positief.

φ = arctan(IX/IR) = arctan(0,3979/1) = 21,7°

Antwoord

φ = 21,7°
10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: f0 = 46,43 Hz

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Resonantie

Bij resonantie heffen de inductieve en capacitieve reactantie elkaar op: ωL = 1/(ωC). De voedingsfrequentie doet er niet toe.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,25·47·10⁻⁶)) = 46,43 Hz

Antwoord

f0 = 46,43 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism