Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Veld van een puntlading: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading: F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Weerstanden parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Twee parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Wet van Ohm: V = I·R
Vermogen: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad: B = μ₀I/(2πr)
Midden van een platte spoel: B = μ₀NI/(2R)
Lange solenoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad: F = BIL·sin θ
Kracht op een lading: F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Zelfinductie: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Snelheidsselector en spectrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld

Ladingen van +2 µC en +5 µC liggen 40 cm uit elkaar. Op welke afstand x van de lading van +2 µC, op de lijn ertussen, is het elektrische veld nul?

q₁ = +2 µCq₂ = +5 µCd = 40 cm

x = cm

2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk

Ladingen van +2 µC en −2 µC liggen 20 cm uit elkaar. Punt P ligt op 3 cm van het midden ertussen, op de middelloodlijn. Vind de grootte van de elektrische veldsterkte E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +2 µCq₂ = −2 µCd = 20 cmh = 3 cm

E = N/C

3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld

Vind de stroom I_R2 door R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk

Vind de stroom I_R2 door R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De bron Vₛ laadt de condensator op via R₁, en R₂ staat parallel aan C. De condensator is ongeladen als de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de condensatorspanning v_C op t = 150 ms.

V_s = 12 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 10 kΩC = 22 µFt = 150 ms

v_C = V

6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 30 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Hoe lang duurt het voordat v_C 22 V bereikt? Vind t.

V_s = 20 VR = 6,8 kΩC = 47 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

7.Magnetische velden & inductieGemiddeld

Een vierkante lus beweegt naar rechts een gebied in met een homogeen magnetisch veld dat het papier uit wijst. Klik op de richting van de geïnduceerde stroom in de lus, gezien in de tekening, terwijl de lus het veld binnengaat.

B: het papier uithet veld binnengaan

1rechtsdraaiend
2tegen de klok in

8.Magnetische velden & inductieMoeilijk

Een lange solenoïde zonder kern heeft 1500 windingen, een lengte van 25 cm en een diameter van 4 cm. Bepaal de energie W die in het magnetisch veld is opgeslagen als hij 4 A voert.

N = 1500l = 25 cm⌀ = 4 cmI = 4 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 230 V (rms), 500 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 250 mHC = 1 µF

φ = °

10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling wordt gevoed door een bron van 12 V (rms) waarvan de frequentie is ingesteld op de resonantiefrequentie van de schakeling. Vind de effectieve spanning V_L over de spoel.

V = 12 V (rms)R = 50 ΩL = 100 mHC = 0,1 µF

V_L = V

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: x = 15,5 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Gelijke velden

2/x² = 5/(40 − x)²

(40 − x)/x = √(5/2) = 1,581

Positie

x = 40/(1 + 1,581) = 15,5 cm

Antwoord

x = 15,5 cm

Het nulpunt ligt altijd dichter bij de kleinere lading.

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: E = 3,16 × 10⁶ N/C

Afstand en veld van één lading

r = √(10² + 3²) = 10,44 cm

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,1044² = 1,65 × 10⁶ N/C

Componenten

De componenten langs de middelloodlijn heffen elkaar op.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·1,65 × 10⁶·0,9578 = 3,16 × 10⁶ N/C

Antwoord

E = 3,16 × 10⁶ N/C

Het veld wijst evenwijdig aan de lijn van de positieve naar de negatieve lading.

3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R2 = 0,9908 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₃ + R₄ = 15 + 3 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 2·18/(2+18) = 1,8 Ω

R_eq = R₁ + 1,8 = 20 + 1,8 = 21,8 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/21,8 = 1,101 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,101·20 = 1,982 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,982/2 = 0,9908 A

Antwoord

I_R2 = 0,9908 A

4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R2 = 0,9848 A

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₅ + R₆ = 2 + 25 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 8,308 Ω

R₃ + 8,308 = 18,31 Ω

R₂ ∥ 18,31 = 3,927 Ω

R_eq = R₁ + 3,927 = 20 + 3,927 = 23,93 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/23,93 = 1,254 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1,254·20 = 4,924 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,924/5 = 0,9848 A

Antwoord

I_R2 = 0,9848 A

5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_C = 7,196 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Thévenin-equivalent gezien vanaf de condensator

Sluit de bron kort om R_th te vinden; laat de condensator open om de spanning te vinden waarop hij uitkomt.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 4,7·10/(4,7 + 10) = 3,197 kΩ

v_C(∞) = 12·10/(4,7 + 10) = 8,163 V

Tijdconstante

τ = R_th·C = 3,197·22 = 70,34 ms

Laadcurve

v_C(t) = 8,163·(1 − e^−150/70,34) = 7,196 V

Antwoord

v_C = 7,196 V

6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 514,4 ms

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 47 µF = 319,6 ms

v_C(t) = 20 + (30 − 20)·e^−t/τ

Los op naar de tijd

22 = 20 + (10)·e^−t/τ → e^−t/τ = (22 − 20)/(30 − 20) = 0,2

t = τ·ln((30 − 20)/(22 − 20)) = 319,6·ln(5) = 514,4 ms

Antwoord

t = 514,4 ms

7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: rechtsdraaiend

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Fluxverandering

De flux het papier uit neemt toe, of de flux het papier in neemt af.

Veld van de geïnduceerde stroom

De geïnduceerde stroom werkt de verandering tegen.

Geïnduceerd veld binnen de lus: het papier in.

Richting van de stroom

Rechterhandgreepregel: een stroom tegen de klok in geeft een veld het papier uit binnen de lus.

rechtsdraaiend

Antwoord

rechtsdraaiend

8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: W = 113,7 mJ

Zelfinductie

L = μ₀N²A/l = 14,21 mH

Opgeslagen energie

W = ½LI² = ½·0,01421·4² = 0,1137 J = 113,7 mJ

Antwoord

W = 113,7 mJ

9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = 85,11 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,25 = 785,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (467,1)²) = 468,8 Ω

Fasehoek

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(467,1/40) = 85,11°

Antwoord

φ = 85,11°

10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: V_L = 240 V

Resonantie

Bij resonantie heffen de reactanties elkaar op, dus de impedantie is gewoon R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·0,1·10⁻⁶) = 10000 rad/s

I = V/R = 12/50 = 0,24 A

Spanning over de spoel

X_L = ω₀L = 10000·0,1 = 1000 Ω

V_L = I·X_L = 0,24·1000 = 240 V

Antwoord

V_L = 240 V

Dit is Q = 20 keer de voedingsspanning.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism