Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Veld van een puntlading: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading: F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Weerstanden parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Twee parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Wet van Ohm: V = I·R
Vermogen: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad: B = μ₀I/(2πr)
Midden van een platte spoel: B = μ₀NI/(2R)
Lange solenoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad: F = BIL·sin θ
Kracht op een lading: F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Zelfinductie: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Snelheidsselector en spectrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld

Ladingen van +3 µC en +10 µC liggen 40 cm uit elkaar. Op welke afstand x van de lading van +3 µC, op de lijn ertussen, is het elektrische veld nul?

q₁ = +3 µCq₂ = +10 µCd = 40 cm

x = cm

2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk

Ladingen van +1 µC en −1 µC liggen 6 cm uit elkaar. Punt P ligt op 6 cm van het midden ertussen, op de middelloodlijn. Vind de grootte van de elektrische veldsterkte E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = −1 µCd = 6 cmh = 6 cm

E = N/C

3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld

Vind de vervangingsweerstand R_eq die de bron V₁ ziet.

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk

Vind de vervangingsweerstand R_eq die de bron V₁ ziet.

V₁ = 12 VR₁ = 25 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De bron Vₛ laadt de condensator op via R₁, en R₂ staat parallel aan C. De condensator is ongeladen als de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de condensatorspanning v_C op t = 30 ms.

V_s = 9 VR₁ = 1 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 33 µFt = 30 ms

v_C = V

6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

De schakelaar is al lang gesloten, dus de schakeling is in de stationaire toestand. Op t = 0 gaat de schakelaar open. Vind de condensatorspanning v_C op t = 250 ms.

V_s = 20 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 220 µFt = 250 ms

v_C = V

7.Magnetische velden & inductieGemiddeld

Een alfadeeltje die met 3 × 10⁶ m/s loodrecht een homogeen magnetisch veld binnenkomt, beweegt op een cirkel met straal 31,11 cm. Bepaal de magnetische fluxdichtheid B.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 3 × 10⁶ m/sr = 31,11 cm

B = T

8.Magnetische velden & inductieMoeilijk

De stroom in een spoel van 20 mH verandert gelijkmatig van 5 A naar 1 A in 20 ms. Bepaal de grootte van de zelfgeïnduceerde EMK ε.

L = 20 mH5 A → 1 AΔt = 20 ms

ε = V

9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 12 V (rms), 1000 Hz. Vind de effectieve stroom I.

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 47 µF

I = A

10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 100 V (rms), 60 Hz. Vind de effectieve spanning V_C over de condensator.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF

V_C = V

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: x = 14,16 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Gelijke velden

3/x² = 10/(40 − x)²

(40 − x)/x = √(10/3) = 1,826

Positie

x = 40/(1 + 1,826) = 14,16 cm

Antwoord

x = 14,16 cm

Het nulpunt ligt altijd dichter bij de kleinere lading.

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: E = 1,787 × 10⁶ N/C

Afstand en veld van één lading

r = √(3² + 6²) = 6,708 cm

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,06708² = 1,998 × 10⁶ N/C

Componenten

De componenten langs de middelloodlijn heffen elkaar op.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·1,998 × 10⁶·0,4472 = 1,787 × 10⁶ N/C

Antwoord

E = 1,787 × 10⁶ N/C

Het veld wijst evenwijdig aan de lijn van de positieve naar de negatieve lading.

3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: R_eq = 17,86 Ω

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₃ + R₄ = 6 + 4 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 4·10/(4+10) = 2,857 Ω

R_eq = R₁ + 2,857 = 15 + 2,857 = 17,86 Ω

Antwoord

R_eq = 17,86 Ω

4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: R_eq = 28,09 Ω

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₅ + R₆ = 3 + 12 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 7,5 Ω

R₃ + 7,5 = 13,5 Ω

R₂ ∥ 13,5 = 3,086 Ω

R_eq = R₁ + 3,086 = 25 + 3,086 = 28,09 Ω

Antwoord

R_eq = 28,09 Ω

5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_C = 5,081 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Thévenin-equivalent gezien vanaf de condensator

Sluit de bron kort om R_th te vinden; laat de condensator open om de spanning te vinden waarop hij uitkomt.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·6,8/(1 + 6,8) = 0,8718 kΩ

v_C(∞) = 9·6,8/(1 + 6,8) = 7,846 V

Tijdconstante

τ = R_th·C = 0,8718·33 = 28,77 ms

Laadcurve

v_C(t) = 7,846·(1 − e^−30/28,77) = 5,081 V

Antwoord

v_C = 5,081 V

6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_C = 5,966 V

Beginspanning van de condensator

In de stationaire toestand is de condensator een open circuit, dus R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler. De condensatorspanning kan niet verspringen als de schakelaar opent.

v_C(0) = 20·2,2/(2,2 + 2,2) = 10 V

Tijdconstante nadat de schakelaar opent

τ = R₂·C = 2,2·220 = 484 ms

Ontlading

v_C(t) = 10·e^−250/484 = 5,966 V

Antwoord

v_C = 5,966 V

7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: B = 0,2 T

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Veld uit de straal

B = mv/(|q|r) = 6,645 × 10⁻²⁷·3 × 10⁶/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,3111) = 0,2 T

Antwoord

B = 0,2 T

8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: ε = 4 V

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Zelfgeïnduceerde EMK

De EMK werkt de stroomverandering tegen (Lenz), dus haar teken is tegengesteld aan ΔI; de grootte is L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,02·4/0,02 = 4 V

Antwoord

ε = 4 V

9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: I = 0,009556 A

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,2 = 1257 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·47·10⁻⁶) = 3,386 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (1253)²) = 1256 Ω

Stroom

Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.

I = V/|Z| = 12/1256 = 0,009556 A

Antwoord

I = 0,009556 A

10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: V_C = 110,6 V

Reactanties

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,15 = 56,55 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−507,8)²) = 510,3 Ω

Stroom

Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.

I = V/|Z| = 100/510,3 = 0,196 A

Spanning over de condensator

V_C = I·X_C = 0,196·564,4 = 110,6 V

Antwoord

V_C = 110,6 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism