Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Veld van een puntlading
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading
F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie
Req = R1 + R2 + …
Weerstanden parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Twee parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Wet van Ohm
V = I·R
Vermogen
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
  2. Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
  4. Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante
τ = RC | τ = L/R
Respons
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensator bij gelijkstroom
open klemmen; vC kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom
kortsluiting; iL kan niet verspringen
Eindtoestand
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
  2. Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
  3. Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
  4. Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad
B = μ0I/(2πr)
Midden van een platte spoel
B = μ0NI/(2R)
Lange solenoïde
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad
F = BIL·sin θ
Kracht op een lading
F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flux
Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Zelfinductie
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Snelheidsselector en spectrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
  2. Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
  3. Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
  4. Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Hoekfrequentie
ω = 2πf
Modulus en hoek
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren
V = I·Z

Methode

  1. Reken de frequentie om: ω = 2πf.
  2. Bereken elke reactantie: XL = ωL en XC = 1/(ωC).
  3. Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
  4. Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld
++4 µC−−10 µCP60 cm

Een lading van +4 µC en een lading van −10 µC bevinden zich op 60 cm van elkaar. Punt P ligt op de lijn ertussen, op 15 cm van de eerste lading. Bereken de grootte van de elektrische veldsterkte E in P.

q1 = +4 µCq2 = −10 µCr1 = 15 cmr2 = 45 cm
E = N/C
2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk
+ + + + + +− − − − − −e⁻5 × 10⁷ m/s6 cmE = 2800 N/C

Een elektron komt het homogene veld tussen twee evenwijdige platen binnen met 5 × 10⁷ m/s, evenwijdig aan de platen. De platen zijn 6 cm lang en het veld ertussen is 2800 N/C. Lading van het elektron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; verwaarloos de zwaartekracht. Hoe ver y is het zijwaarts afgebogen als het de platen verlaat? Geef het antwoord in mm.

v₀ = 5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 2800 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAR4​15 ΩB

Vind de stroom IR1 die de bron levert, en die door R1 loopt.

V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 6 ΩR4 = 15 Ω
IR1 = A
4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk
R1​ = 30 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​5 VR2​20 ΩIR2​AR4​30 ΩBR6​3 Ω

Vind de stroom IR2 door R2.

V1 = 5 VR1 = 30 ΩR2 = 20 ΩR3 = 8 ΩR4 = 30 ΩR5 = 8 ΩR6 = 3 Ω
IR2 = A
5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld
+−Vs​30 Vt = 0R1​ = 6,8 kΩR2​ = 3,3 kΩC68 µF+−vC​

De bron Vₛ laadt de condensator op via R₁, en R₂ staat parallel aan C. De condensator is ongeladen als de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de tijdconstante τ van de schakeling nadat de schakelaar sluit.

Vs = 30 VR1 = 6,8 kΩR2 = 3,3 kΩC = 68 µF
τ = ms
6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk
+−Vs​6 VR1​ = 20 ΩR2​ = 22 Ωopent op t = 0L150 mHi(t)

De schakelaar over R2 is al lang gesloten, dus de spoelstroom is constant. Op t = 0 gaat de schakelaar open. Hoe lang na t = 0 bereikt de spoelstroom 0,237 A? Vind t.

Vs = 6 VR1 = 20 ΩR2 = 22 ΩL = 150 mH
t = ms
7.Magnetische velden & inductieGemiddeld
−v = 5 × 10⁶ m/sr = 2,843 cmB = ?

Een elektron die met 5 × 10⁶ m/s loodrecht een homogeen magnetisch veld binnenkomt, beweegt op een cirkel met straal 2,843 cm. Bepaal de magnetische fluxdichtheid B.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁶ m/sr = 2,843 cm
B = mT
8.Magnetische velden & inductieMoeilijk
V = 10000 VB = 0,8 Tr = ?

Een proton begint in rust, wordt versneld over een potentiaalverschil van 10000 V en komt dan loodrecht een homogeen magnetisch veld van 0,8 T binnen. Bepaal de straal r van zijn baan in het veld.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0,8 T
r = cm
9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld
10 V50 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 10 µF

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 10 V (rms), 50 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 10 µF
φ = °
10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk
50 V60 HzR1​ = 50 ΩR2​ = 30 ΩC = 47 µF

Een weerstand R1 staat in serie met een parallelschakeling van R2 en een condensator C, aangesloten op een voeding van 50 V (rms), 60 Hz. Vind de grootte van de impedantie |Z|.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR1 = 50 ΩR2 = 30 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: E = 2,042 × 10⁶ N/C

Wet van Coulomb: twee puntladingen trekken elkaar aan of stoten elkaar af met F = k·|q₁·q₂|/r², met k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Het veld van een puntlading is E = k·|q|/r², gericht van een positieve lading af en naar een negatieve lading toe. Krachten en velden van meerdere ladingen tel je op als vectoren.

Veld van elke lading

E1 = k·4 × 10⁻⁶/0,15² = 1,598 × 10⁶ N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0,45² = 443951 N/C

Richtingen en som

Het eerste veld wijst van de positieve lading af en het tweede naar de negatieve lading toe: beide wijzen dezelfde kant op.

E = |1,598 × 10⁶ + 443951| = 2,042 × 10⁶ N/C

Antwoord

E = 2,042 × 10⁶ N/C
2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: y = 0,3546 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Tijd tussen de platen

t = L/v₀ = 0,06/5 × 10⁷ = 1,2 × 10⁻⁹ s

Zijwaartse versnelling

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·2800/9,109 × 10⁻³¹ = 4,924 × 10¹⁴ m/s²

Doorbuiging

y = ½·a·t² = ½·4,924 × 10¹⁴·(1,2 × 10⁻⁹)² = 0,0003546 m = 0,3546 mm

Antwoord

y = 0,3546 mm

Het elektron wordt naar de positieve plaat geduwd, tegen de veldrichting in.

3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: IR1 = 2,595 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 2 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAR4​15 ΩB

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R3 + R4 = 6 + 15 = 21 Ω
R2 ∥ 21 = 3·21/(3+21) = 2,625 Ω
Req = R1 + 2,625 = 2 + 2,625 = 4,625 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

IR1 = V1/Req = 12/4,625 = 2,595 A

Antwoord

IR1 = 2,595 A
4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: IR2 = 0,05722 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 30 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​5 VR2​20 ΩAR4​30 ΩBR6​3 Ω

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R5 + R6 = 8 + 3 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 8,049 Ω
R3 + 8,049 = 16,05 Ω
R2 ∥ 16,05 = 8,904 Ω
Req = R1 + 8,904 = 30 + 8,904 = 38,9 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

IR1 = V1/Req = 5/38,9 = 0,1285 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0,1285·30 = 1,144 V
IR2 = VA/R2 = 1,144/20 = 0,05722 A

Antwoord

IR2 = 0,05722 A
5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: τ = 151,1 ms

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Thévenin-equivalent gezien vanaf de condensator

Sluit de bron kort om Rth te vinden; laat de condensator open om de spanning te vinden waarop hij uitkomt.

Rth = R1 ∥ R2 = 6,8·3,3/(6,8 + 3,3) = 2,222 kΩ
vC(∞) = 30·3,3/(6,8 + 3,3) = 9,802 V

Tijdconstante

τ = Rth·C = 2,222·68 = 151,1 ms

Antwoord

τ = 151,1 ms
6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 1,83 ms

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

Vóór t = 0 overbrugt de gesloten schakelaar R₂; daarna zitten R₁ en R₂ allebei in de kring.

i(0) = 6/20 = 0,3 A
i(∞) = 6/(20 + 22) = 0,1429 A
τ = L/R = 150/42 = 3,571 ms
i(t) = 0,1429 + (0,3 − 0,1429)·e−t/τ

Los op naar de tijd

e−t/τ = (0,237 − 0,1429)/(0,3 − 0,1429) = 0,5991
t = 3,571·ln(1,669) = 1,83 ms

Antwoord

t = 1,83 ms
7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: B = 1 mT

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Veld uit de straal

B = mv/(|q|r) = 9,109 × 10⁻³¹·5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,02843) = 1 mT

Antwoord

B = 1 mT
8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: r = 1,807 cm

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Snelheid na de versnelling

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·10000/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 1,384 × 10⁶ m/s

Straal in het veld

r = mv/(|q|B) = 0,01807 m = 1,807 cm

Antwoord

r = 1,807 cm

Gecombineerd: r = √(2mV/|q|)/B, dus zwaardere ionen met dezelfde lading bewegen op grotere cirkels; zo worden isotopen gescheiden.

9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = −85,28 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,05 = 15,71 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (−302,6)²) = 303,6 Ω

Fasehoek

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−302,6/25) = −85,28°

Antwoord

φ = −85,28°
10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: |Z| = 74,44 Ω

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

XC = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Parallelschakeling

Vermenigvuldig teller en noemer met de complex geconjugeerde om Zp te splitsen in een reëel en een imaginair deel.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 23,39 − j12,43 Ω

Totale impedantie

Z = 50 + 23,39 − j12,43 = 73,39 − j12,43 Ω
|Z| = √(73,39² + 12,43²) = 74,44 Ω

Antwoord

|Z| = 74,44 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism