Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Veld van een puntlading
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading
F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie
Req = R1 + R2 + …
Weerstanden parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Twee parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Wet van Ohm
V = I·R
Vermogen
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
  2. Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
  4. Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante
τ = RC | τ = L/R
Respons
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensator bij gelijkstroom
open klemmen; vC kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom
kortsluiting; iL kan niet verspringen
Eindtoestand
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
  2. Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
  3. Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
  4. Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad
B = μ0I/(2πr)
Midden van een platte spoel
B = μ0NI/(2R)
Lange solenoïde
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad
F = BIL·sin θ
Kracht op een lading
F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flux
Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Zelfinductie
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Snelheidsselector en spectrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
  2. Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
  3. Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
  4. Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Hoekfrequentie
ω = 2πf
Modulus en hoek
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren
V = I·Z

Methode

  1. Reken de frequentie om: ω = 2πf.
  2. Bereken elke reactantie: XL = ωL en XC = 1/(ωC).
  3. Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
  4. Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld
−−5 µC−−4 µC++3 µC2,5 cm + 7,5 cm

Drie puntladingen liggen op een rechte lijn: −5 µC links, +3 µC rechts op 10 cm afstand, en −4 µC ertussen, op 2,5 cm van de linker lading. Vind de grootte van de netto elektrische kracht F op de middelste lading. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = −5 µCqR = +3 µCqM = −4 µCrL = 2,5 cmrR = 7,5 cm
F = N
2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk
+−P2 × 6 cm4 cm+6 µC−6 µC

Ladingen van +6 µC en −6 µC liggen 12 cm uit elkaar. Punt P ligt op 4 cm van het midden ertussen, op de middelloodlijn. Vind de grootte van de elektrische veldsterkte E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +6 µCq2 = −6 µCd = 12 cmh = 4 cm
E = N/C
3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld
R1​ = 5 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩIR2​AR4​5 ΩB

Vind de stroom IR2 door R2.

V1 = 18 VR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 3 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk
R1​ = 15 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩIR2​AR4​25 ΩBR6​10 Ω

Vind de stroom IR2 door R2.

V1 = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 8 ΩR3 = 12 ΩR4 = 25 ΩR5 = 2 ΩR6 = 10 Ω
IR2 = A
5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld
+−Vs​12 Vt = 0R = 50 ΩL68 mHi(t)

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de energie W die op t = 1 ms in de spoel is opgeslagen, in mJ.

Vs = 12 VR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms
W = mJ
6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk
+−Vs​10 Vt = 0R = 3,3 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 4 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Hoe lang duurt het voordat vC 7 V bereikt? Vind t.

Vs = 10 VR = 3,3 kΩC = 33 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.Magnetische velden & inductieGemiddeld
+v = 2,5 × 10⁵ m/sB = 1 T

Een alfadeeltje beweegt op een cirkel in een homogeen magnetisch veld van 1 T. Bepaal de tijd T die één omloop duurt.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CB = 1 T
T = ns
8.Magnetische velden & inductieMoeilijk
l = 10 cmN = 1500, ⌀ 5 cm

Een lange solenoïde zonder kern heeft 1500 windingen, een lengte van 10 cm en een diameter van 5 cm. Bepaal zijn zelfinductie L.

N = 1500l = 10 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = mH
9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld
50 V100 HzR = 100 ΩL = 150 mHI

Een weerstand en een spoel zijn parallel aangesloten op een voeding van 50 V (rms), 100 Hz. Vind de grootte van de impedantie |Z|.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 150 mH
|Z| = Ω
10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk
230 V50 HzR1​ = 40 ΩR2​ = 80 ΩC = 100 µF

Een weerstand R1 staat in serie met een parallelschakeling van R2 en een condensator C, aangesloten op een voeding van 230 V (rms), 50 Hz. Vind de grootte van de impedantie |Z|.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR1 = 40 ΩR2 = 80 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: F = 306,9 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Kracht van elke lading

Rechts is positief.

FL = +k·5·4 × 10⁻¹²/0,025² = 287,7 N
FR = +k·3·4 × 10⁻¹²/0,075² = 19,18 N

Nettokracht

F = 287,7 + (19,18) = 306,9 N → |F| = 306,9 N

Antwoord

F = 306,9 N

De nettokracht wijst naar rechts.

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: E = 1,726 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Afstand en veld van één lading

r = √(6² + 4²) = 7,211 cm
E1 = k·6 × 10⁻⁶/0,07211² = 1,037 × 10⁷ N/C

Componenten

De componenten langs de middelloodlijn heffen elkaar op.

E = 2·E1·(a/r) = 2·1,037 × 10⁷·0,8321 = 1,726 × 10⁷ N/C

Antwoord

E = 1,726 × 10⁷ N/C

Het veld wijst evenwijdig aan de lijn van de positieve naar de negatieve lading.

3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: IR2 = 1,371 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 5 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAR4​5 ΩB

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R3 + R4 = 3 + 5 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 5·8/(5+8) = 3,077 Ω
Req = R1 + 3,077 = 5 + 3,077 = 8,077 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

IR1 = V1/Req = 18/8,077 = 2,229 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 2,229·5 = 6,857 V
IR2 = VA/R2 = 6,857/5 = 1,371 A

Antwoord

IR2 = 1,371 A
4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: IR2 = 0,4143 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 15 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAR4​25 ΩBR6​10 Ω

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R5 + R6 = 2 + 10 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 8,108 Ω
R3 + 8,108 = 20,11 Ω
R2 ∥ 20,11 = 5,723 Ω
Req = R1 + 5,723 = 15 + 5,723 = 20,72 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

IR1 = V1/Req = 12/20,72 = 0,5791 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0,5791·15 = 3,314 V
IR2 = VA/R2 = 3,314/8 = 0,4143 A

Antwoord

IR2 = 0,4143 A
5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: W = 0,5308 mJ

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1,36 ms
i(∞) = Vs/R = 12/50 = 0,24 A

Stroom op het gegeven tijdstip

i(t) = 0,24·(1 − e−1/1,36) = 0,125 A

Opgeslagen energie

W = ½·L·i² = ½·68·0,125² = 0,5308 mJ

Antwoord

W = 0,5308 mJ
6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 75,48 ms

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 33 µF = 108,9 ms
vC(t) = 10 + (4 − 10)·e−t/τ

Los op naar de tijd

7 = 10 + (−6)·e−t/τ → e−t/τ = (7 − 10)/(4 − 10) = 0,5
t = τ·ln((4 − 10)/(7 − 10)) = 108,9·ln(2) = 75,48 ms

Antwoord

t = 75,48 ms
7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: T = 130,3 ns

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Periode van de cirkelbeweging

Een sneller deeltje beweegt op een grotere cirkel, dus de tijd per omloop blijft gelijk.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·6,645 × 10⁻²⁷/(3,204 × 10⁻¹⁹·1) = 130,3 ns

Antwoord

T = 130,3 ns

De snelheid is niet nodig: daarom kan een cyclotron één vaste frequentie gebruiken.

8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: L = 55,52 mH

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Doorsnede

A = π·(0,025)² = 0,001963 m²

Zelfinductie

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1500²·0,001963/0,1 = 0,05552 H = 55,52 mH

Antwoord

L = 55,52 mH
9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: |Z| = 68,59 Ω

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

XL = ωL = 2π·100·0,15 = 94,25 Ω

Takstromen

Beide takken zijn rechtstreeks op de voeding aangesloten, dus elke tak krijgt de volle spanning V.

IR = V/R = 50/100 = 0,5 A
IX = V/XL = 50/94,25 = 0,5305 A

Totale stroom

De stroom door de weerstand is in fase met V en de reactieve stroom is 90° uit fase, dus ze tellen op als de zijden van een rechthoekige driehoek.

I = √(IR² + IX²) = √(0,5² + 0,5305²) = 0,729 A

Impedantie

|Z| = V/I = 50/0,729 = 68,59 Ω

Antwoord

|Z| = 68,59 Ω
10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: |Z| = 57,87 Ω

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

XC = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Parallelschakeling

Vermenigvuldig teller en noemer met de complex geconjugeerde om Zp te splitsen in een reëel en een imaginair deel.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 10,93 − j27,48 Ω

Totale impedantie

Z = 40 + 10,93 − j27,48 = 50,93 − j27,48 Ω
|Z| = √(50,93² + 27,48²) = 57,87 Ω

Antwoord

|Z| = 57,87 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism