Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Veld van een puntlading: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading: F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Weerstanden parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Twee parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Wet van Ohm: V = I·R
Vermogen: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad: B = μ₀I/(2πr)
Midden van een platte spoel: B = μ₀NI/(2R)
Lange solenoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad: F = BIL·sin θ
Kracht op een lading: F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Zelfinductie: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Snelheidsselector en spectrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld

Drie puntladingen liggen op een rechte lijn: +4 µC links, +1 µC rechts op 20 cm afstand, en +2 µC ertussen, op 10 cm van de linker lading. Vind de grootte van de netto elektrische kracht F op de middelste lading. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +4 µCq_R = +1 µCq_M = +2 µCr_L = 10 cmr_R = 10 cm

F = N

2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk

Twee identieke kleine balletjes, elk met een massa van 1 g, hangen aan hetzelfde punt aan isolerende draadjes van 50 cm lang. Ze krijgen gelijke ladingen en elk draadje komt tot rust onder 20° met de verticaal. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de lading q op elk balletje in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 1 gL = 50 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld

Vind de vervangingsweerstand R_eq die de bron V₁ ziet.

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk

Vind de stroom I_R2 door R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 25 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de stroom i op t = 1 ms.

V_s = 5 VR = 22 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 3 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Hoe lang duurt het voordat v_C 11,4 V bereikt? Vind t.

V_s = 24 VR = 4,7 kΩC = 22 µFv_C(0) = 3 V

t = ms

7.Magnetische velden & inductieGemiddeld

Een spoel met 25 windingen, oppervlakte 80 cm² en weerstand 4 Ω vormt een gesloten stroomkring. Een homogeen veld loodrecht op de spoel neemt in 20 ms gelijkmatig toe van 0 T tot 0,5 T. Bepaal de gemiddelde geïnduceerde stroom I.

N = 25A = 80 cm²B: 0 T → 0,5 TΔt = 20 msR = 4 Ω

I = A

8.Magnetische velden & inductieMoeilijk

Een proton begint in rust, wordt versneld over een potentiaalverschil van 1000 V en komt dan loodrecht een homogeen magnetisch veld van 0,4 T binnen. Bepaal de straal r van zijn baan in het veld.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 1000 VB = 0,4 T

r = cm

9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 100 V (rms), 200 Hz. Vind de effectieve stroom I.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 10 µF

I = A

10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een weerstand R₁ staat in serie met een parallelschakeling van R₂ en een condensator C, aangesloten op een voeding van 24 V (rms), 500 Hz. Vind de grootte van de impedantie |Z|.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 60 ΩC = 4,7 µF

|Z| = Ω

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: F = 5,394 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Kracht van elke lading

Rechts is positief.

F_L = +k·4·2 × 10⁻¹²/0,1² = 7,192 N

F_R = −k·1·2 × 10⁻¹²/0,1² = −1,798 N

Nettokracht

F = 7,192 + (−1,798) = 5,394 N → |F| = 5,394 N

Antwoord

F = 5,394 N

De nettokracht wijst naar rechts.

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: q = 215,5 nC

Elektrische kracht uit het evenwicht

Het horizontale deel van de spankracht houdt F in evenwicht, het verticale deel m·g.

F = m·g·tan θ = 0,001·9,81·tan 20° = 0,003571 N

Afstand

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 20° = 0,342 m

Lading

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,342·√(0,003571/8,99 × 10⁹) = 2,155 × 10⁻⁷ C = 215,5 nC

Antwoord

q = 215,5 nC

3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: R_eq = 8,667 Ω

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₃ + R₄ = 2 + 6 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 4·8/(4+8) = 2,667 Ω

R_eq = R₁ + 2,667 = 6 + 2,667 = 8,667 Ω

Antwoord

R_eq = 8,667 Ω

4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R2 = 0,1858 A

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₅ + R₆ = 8 + 20 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 6,222 Ω

R₃ + 6,222 = 26,22 Ω

R₂ ∥ 26,22 = 8,233 Ω

R_eq = R₁ + 8,233 = 25 + 8,233 = 33,23 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/33,23 = 0,2708 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,2708·25 = 2,23 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,23/12 = 0,1858 A

Antwoord

I_R2 = 0,1858 A

5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: i = 0,1437 A

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 22 mH / 22 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 5/22 = 0,2273 A

Stroom op het gegeven tijdstip

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,2273·(1 − e^−1/1) = 0,1437 A

Antwoord

i = 0,1437 A

6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 52,82 ms

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 22 µF = 103,4 ms

v_C(t) = 24 + (3 − 24)·e^−t/τ

Los op naar de tijd

11,4 = 24 + (−21)·e^−t/τ → e^−t/τ = (11,4 − 24)/(3 − 24) = 0,6

t = τ·ln((3 − 24)/(11,4 − 24)) = 103,4·ln(1,667) = 52,82 ms

Antwoord

t = 52,82 ms

7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: I = 1,25 A

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Fluxverandering per winding

ΔΦ = (0,5 − 0)·0,008 = 0,004 Wb

Gemiddelde EMK

ε = NΔΦ/Δt = 25·0,004/0,02 = 5 V

Stroom

I = ε/R = 5/4 = 1,25 A

Antwoord

I = 1,25 A

8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: r = 1,143 cm

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Snelheid na de versnelling

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·1000/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 437621 m/s

Straal in het veld

r = mv/(|q|B) = 0,01143 m = 1,143 cm

Antwoord

r = 1,143 cm

Gecombineerd: r = √(2mV/|q|)/B, dus zwaardere ionen met dezelfde lading bewegen op grotere cirkels; zo worden isotopen gescheiden.

9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: I = 1,724 A

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (−54,44)²) = 58 Ω

Stroom

Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.

I = V/|Z| = 100/58 = 1,724 A

Antwoord

I = 1,724 A

10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: |Z| = 70,24 Ω

Reactantie

X_C = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Parallelschakeling

Vermenigvuldig teller en noemer met de complex geconjugeerde om Z_p te splitsen in een reëel en een imaginair deel.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 33,62 − j29,78 Ω

Totale impedantie

Z = 30 + 33,62 − j29,78 = 63,62 − j29,78 Ω

|Z| = √(63,62² + 29,78²) = 70,24 Ω

Antwoord

|Z| = 70,24 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism