Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Veld van een puntlading: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading: F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Weerstanden parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Twee parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Wet van Ohm: V = I·R
Vermogen: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad: B = μ₀I/(2πr)
Midden van een platte spoel: B = μ₀NI/(2R)
Lange solenoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad: F = BIL·sin θ
Kracht op een lading: F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Zelfinductie: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Snelheidsselector en spectrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld

Een lading van +10 µC en een lading van +4 µC bevinden zich op 60 cm van elkaar. Punt P ligt op de lijn ertussen, op 24 cm van de eerste lading. Bereken de grootte van de elektrische veldsterkte E in P.

q₁ = +10 µCq₂ = +4 µCr₁ = 24 cmr₂ = 36 cm

E = N/C

2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk

Drie positieve puntladingen bevinden zich op de hoekpunten van een rechthoekige driehoek: q₃ = 10 µC zit in het hoekpunt met de rechte hoek, q₁ = 2 µC zit 5 cm daarvandaan langs de ene rechthoekszijde en q₂ = 5 µC zit 5 cm daarvandaan langs de andere rechthoekszijde. Bereken de grootte van de resulterende elektrische kracht F op q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 5 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld

Vind de stroom I_R2 door R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk

Vind de stroom I_R1 die de bron levert, en die door R₁ loopt.

V₁ = 36 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 10 Ω

I_R1 = A

5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Hoe lang na het sluiten van de schakelaar bereikt de stroom 99% van zijn eindwaarde? Vind t.

V_s = 20 VR = 22 ΩL = 150 mH

t = ms

6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

De schakelaar is al lang gesloten, dus de schakeling is in de stationaire toestand. Op t = 0 gaat de schakelaar open. Vind de condensatorspanning v_C op t = 1000 ms.

V_s = 12 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 10 kΩC = 220 µFt = 1000 ms

v_C = V

7.Magnetische velden & inductieGemiddeld

Een proton beweegt met 5 × 10⁶ m/s loodrecht op een homogeen magnetisch veld van 0,8 T. Bepaal de straal r van zijn cirkelbaan.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁶ m/sB = 0,8 T

r = cm

8.Magnetische velden & inductieMoeilijk

Een spoel met 500 windingen, 20 cm × 5 cm, draait met 3000 rpm in een homogeen veld van 0,1 T om een as loodrecht op het veld. Bepaal de piek-EMK E₀.

N = 500A = 20 cm × 5 cmB = 0,1 Tn = 3000 rpm

E₀ = V

9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling met L = 100 mH moet resoneren bij 50 Hz. Vind de benodigde capaciteit C.

f₀ = 50 HzL = 100 mH

C = µF

10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling heeft R = 20 Ω, L = 10 mH en C = 1 µF. Vind de bandbreedte B (de breedte van de band tussen de halfvermogensfrequenties), in Hz.

R = 20 ΩL = 10 mHC = 1 µF

B = Hz

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: E = 1,283 × 10⁶ N/C

Wet van Coulomb: twee puntladingen trekken elkaar aan of stoten elkaar af met F = k·|q₁·q₂|/r², met k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Het veld van een puntlading is E = k·|q|/r², gericht van een positieve lading af en naar een negatieve lading toe. Krachten en velden van meerdere ladingen tel je op als vectoren.

Veld van elke lading

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,24² = 1,561 × 10⁶ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,36² = 277469 N/C

Richtingen en som

Beide ladingen zijn positief: in P wijzen hun velden van de eigen lading af, dus in tegengestelde richting.

E = |1,561 × 10⁶ − 277469| = 1,283 × 10⁶ N/C

Antwoord

E = 1,283 × 10⁶ N/C

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: F = 193,7 N

Elke kracht op q₃

F₁ = k·2·10 × 10⁻¹²/0,05² = 71,92 N

F₂ = k·5·10 × 10⁻¹²/0,05² = 179,8 N

Vectorsom

F = √(71,92² + 179,8²) = 193,7 N

Antwoord

F = 193,7 N

3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R2 = 0,8333 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₃ + R₄ = 2 + 8 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 6·10/(6+10) = 3,75 Ω

R_eq = R₁ + 3,75 = 3 + 3,75 = 6,75 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/6,75 = 1,333 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 1,333·3 = 5 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5/6 = 0,8333 A

Antwoord

I_R2 = 0,8333 A

4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R1 = 3,595 A

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₅ + R₆ = 15 + 10 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 6,061 Ω

R₃ + 6,061 = 12,06 Ω

R₂ ∥ 12,06 = 6,015 Ω

R_eq = R₁ + 6,015 = 4 + 6,015 = 10,02 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/10,02 = 3,595 A

Antwoord

I_R1 = 3,595 A

5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 31,4 ms

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6,818 ms

i(∞) = V_s/R = 20/22 = 0,9091 A

Los op naar de tijd

0,99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)

t = −6,818·ln(0,01) = 31,4 ms

Antwoord

t = 31,4 ms

6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_C = 5,182 V

Beginspanning van de condensator

In de stationaire toestand is de condensator een open circuit, dus R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler. De condensatorspanning kan niet verspringen als de schakelaar opent.

v_C(0) = 12·10/(4,7 + 10) = 8,163 V

Tijdconstante nadat de schakelaar opent

τ = R₂·C = 10·220 = 2200 ms

Ontlading

v_C(t) = 8,163·e^−1000/2200 = 5,182 V

Antwoord

v_C = 5,182 V

7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: r = 6,527 cm

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Krachtenevenwicht

De magnetische kracht staat altijd loodrecht op de snelheid, dus ze buigt de baan tot een cirkel.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Straal

r = 1,673 × 10⁻²⁷·5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,8) = 0,06527 m = 6,527 cm

Antwoord

r = 6,527 cm

8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: E₀ = 157,1 V

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Hoeksnelheid en oppervlakte

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

A = 0,01 m²

Piek-EMK

E₀ = NBAω = 500·0,1·0,01·314,2 = 157,1 V

Antwoord

E₀ = 157,1 V

9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: C = 101,3 µF

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Resonantievoorwaarde

Bij resonantie heffen de inductieve en capacitieve reactantie elkaar op: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(314,2²·0,1) = 101,3 µF

Antwoord

C = 101,3 µF

10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: B = 318,3 Hz

Resonantiefrequentie

f₀ = 1/(2π·√(0,01·1·10⁻⁶)) = 1592 Hz

Kwaliteitsfactor

Q vergelijkt de reactantie bij resonantie met de weerstand: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,01/(1·10⁻⁶)) = 5

Bandbreedte

B = f₀/Q = 1592/5 = 318,3 Hz

Antwoord

B = 318,3 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism