Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Veld van een puntlading
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading
F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie
Req = R1 + R2 + …
Weerstanden parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Twee parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Wet van Ohm
V = I·R
Vermogen
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
  2. Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
  4. Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante
τ = RC | τ = L/R
Respons
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensator bij gelijkstroom
open klemmen; vC kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom
kortsluiting; iL kan niet verspringen
Eindtoestand
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
  2. Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
  3. Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
  4. Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad
B = μ0I/(2πr)
Midden van een platte spoel
B = μ0NI/(2R)
Lange solenoïde
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad
F = BIL·sin θ
Kracht op een lading
F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flux
Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Zelfinductie
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Snelheidsselector en spectrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
  2. Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
  3. Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
  4. Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Hoekfrequentie
ω = 2πf
Modulus en hoek
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren
V = I·Z

Methode

  1. Reken de frequentie om: ω = 2πf.
  2. Bereken elke reactantie: XL = ωL en XC = 1/(ωC).
  3. Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
  4. Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld
−−4 µC−−3 µCr = 40 cm

Twee identieke kleine metalen bolletjes hebben ladingen van −4 µC en −3 µC. Ze worden tegen elkaar aan gehouden en daarna weer op 40 cm van elkaar gezet. Vind de grootte van de kracht F tussen hen nu. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = −4 µCq2 = −3 µCr = 40 cm
F = N
2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk
8 cm8 cm+q1​ = +6 µC+q3​ = +8 µC+q2​ = +2 µC

Drie positieve puntladingen bevinden zich op de hoekpunten van een rechthoekige driehoek: q₃ = 8 µC zit in het hoekpunt met de rechte hoek, q₁ = 6 µC zit 8 cm daarvandaan langs de ene rechthoekszijde en q₂ = 2 µC zit 8 cm daarvandaan langs de andere rechthoekszijde. Bereken de grootte van de resulterende elektrische kracht F op q₃.

q1 = 6 µCq2 = 2 µCq3 = 8 µCr13 = 8 cmr23 = 8 cm
F = N
3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​6 ΩB

Vind de stroom IR1 die de bron levert, en die door R1 loopt.

V1 = 18 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 ΩR4 = 6 Ω
IR1 = A
4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAR4​5 ΩBR6​8 Ω

Vind de vervangingsweerstand Req die de bron V1 ziet.

V1 = 10 VR1 = 20 ΩR2 = 10 ΩR3 = 8 ΩR4 = 5 ΩR5 = 30 ΩR6 = 8 Ω
Req = Ω
5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld
+−Vs​10 Vt = 0R = 15 ΩL10 mHi(t)

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de stroom i op t = 1 ms.

Vs = 10 VR = 15 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk
+−Vs​12 Vt = 0R = 4,7 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 4 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Vind de condensatorspanning vC op t = 500 ms.

Vs = 12 VR = 4,7 kΩC = 100 µFvC(0) = 4 Vt = 500 ms
vC = V
7.Magnetische velden & inductieGemiddeld
+v = 2 × 10⁵ m/sr = ?B = 0,8 T

Een alfadeeltje beweegt met 2 × 10⁵ m/s loodrecht op een homogeen magnetisch veld van 0,8 T. Bepaal de straal r van zijn cirkelbaan.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 2 × 10⁵ m/sB = 0,8 T
r = cm
8.Magnetische velden & inductieMoeilijk
L1​ = 80 mH1000 A/sL2​ = 200 mHk = 0,6ε = ?

Twee spoelen met zelfinducties van 80 mH en 200 mH hebben een koppelingscoëfficiënt van 0,6. De stroom in de eerste spoel verandert met 1000 A/s. Bepaal de EMK ε die in de tweede spoel wordt geïnduceerd.

L1 = 80 mHL2 = 200 mHk = 0,6di/dt = 1000 A/s
ε = V
9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld
100 V50 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 47 µFI

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 100 V (rms), 50 Hz. Vind het werkelijk vermogen P dat uit de voeding wordt opgenomen.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 47 µF
P = W
10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk
100 V60 HzR1​ = 30 ΩR2​ = 40 ΩC = 47 µFI

Een weerstand R1 staat in serie met een parallelschakeling van R2 en een condensator C, aangesloten op een voeding van 100 V (rms), 60 Hz. Vind de effectieve stroom I.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR1 = 30 ΩR2 = 40 ΩC = 47 µF
I = A

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: F = 0,6883 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Lading na het aanraken

q′ = (−4 + −3)/2 = −3,5 µC

Nieuwe kracht

F = 8,99 × 10⁹·(3,5 × 10⁻⁶)²/0,4² = 0,6883 N

Antwoord

F = 0,6883 N

Beide bolletjes hebben nu hetzelfde teken, dus ze stoten elkaar af.

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: F = 71,07 N

Wet van Coulomb: twee puntladingen trekken elkaar aan of stoten elkaar af met F = k·|q₁·q₂|/r², met k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Het veld van een puntlading is E = k·|q|/r², gericht van een positieve lading af en naar een negatieve lading toe. Krachten en velden van meerdere ladingen tel je op als vectoren.

Elke kracht op q₃

F1 = k·6·8 × 10⁻¹²/0,08² = 67,42 N
F2 = k·2·8 × 10⁻¹²/0,08² = 22,47 N

Vectorsom

F = √(67,42² + 22,47²) = 71,07 N

Antwoord

F = 71,07 N
3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: IR1 = 0,7355 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​6 ΩB

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R3 + R4 = 12 + 6 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 20·18/(20+18) = 9,474 Ω
Req = R1 + 9,474 = 15 + 9,474 = 24,47 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

IR1 = V1/Req = 18/24,47 = 0,7355 A

Antwoord

IR1 = 0,7355 A
4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: Req = 25,54 Ω

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 20 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAR4​5 ΩBR6​8 Ω

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R5 + R6 = 30 + 8 = 38 Ω
R4 ∥ 38 = 4,419 Ω
R3 + 4,419 = 12,42 Ω
R2 ∥ 12,42 = 5,539 Ω
Req = R1 + 5,539 = 20 + 5,539 = 25,54 Ω

Antwoord

Req = 25,54 Ω
5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: i = 0,5179 A

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0,6667 ms
i(∞) = Vs/R = 10/15 = 0,6667 A

Stroom op het gegeven tijdstip

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,6667·(1 − e−1/0,6667) = 0,5179 A

Antwoord

i = 0,5179 A
6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: vC = 9,239 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 100 µF = 470 ms
vC(t) = 12 + (4 − 12)·e−t/τ

Spanning op het gegeven tijdstip

vC(500) = 12 + (−8)·e−500/470 = 9,239 V

Antwoord

vC = 9,239 V
7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: r = 0,5185 cm

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Krachtenevenwicht

De magnetische kracht staat altijd loodrecht op de snelheid, dus ze buigt de baan tot een cirkel.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Straal

r = 6,645 × 10⁻²⁷·2 × 10⁵/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,8) = 0,005185 m = 0,5185 cm

Antwoord

r = 0,5185 cm
8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: ε = 75,89 V

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Wederzijdse inductie

M = 0,6·√(80·200) = 75,89 mH

Geïnduceerde EMK

ε = M·di/dt = 0,07589·1000 = 75,89 V

Antwoord

ε = 75,89 V
9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: P = 135,2 W

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

XL = 31,42 Ω, XC = 67,73 Ω

Impedantie

|Z| = √(30² + (−36,31)²) = 47,1 Ω

Werkelijk vermogen

Spoelen en condensatoren slaan alleen energie op en geven die terug; de weerstand neemt al het werkelijk vermogen op.

I = 100/47,1 = 2,123 A
P = I²·R = 2,123²·30 = 135,2 W

Antwoord

P = 135,2 W
10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: I = 1,675 A

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

XC = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Parallelschakeling

Vermenigvuldig teller en noemer met de complex geconjugeerde om Zp te splitsen in een reëel en een imaginair deel.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 26,63 − j18,87 Ω

Totale impedantie

Z = 30 + 26,63 − j18,87 = 56,63 − j18,87 Ω
|Z| = √(56,63² + 18,87²) = 59,69 Ω

Stroom

I = V/|Z| = 100/59,69 = 1,675 A

Antwoord

I = 1,675 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism