Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Veld van een puntlading
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading
F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie
Req = R1 + R2 + …
Weerstanden parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Twee parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Wet van Ohm
V = I·R
Vermogen
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
  2. Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
  4. Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante
τ = RC | τ = L/R
Respons
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensator bij gelijkstroom
open klemmen; vC kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom
kortsluiting; iL kan niet verspringen
Eindtoestand
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
  2. Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
  3. Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
  4. Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad
B = μ0I/(2πr)
Midden van een platte spoel
B = μ0NI/(2R)
Lange solenoïde
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad
F = BIL·sin θ
Kracht op een lading
F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flux
Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Zelfinductie
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Snelheidsselector en spectrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
  2. Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
  3. Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
  4. Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Hoekfrequentie
ω = 2πf
Modulus en hoek
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren
V = I·Z

Methode

  1. Reken de frequentie om: ω = 2πf.
  2. Bereken elke reactantie: XL = ωL en XC = 1/(ωC).
  3. Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
  4. Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld
++4 µC++2 µC++2 µC12 cm + 18 cm

Drie puntladingen liggen op een rechte lijn: +4 µC links, +2 µC rechts op 30 cm afstand, en +2 µC ertussen, op 12 cm van de linker lading. Vind de grootte van de netto elektrische kracht F op de middelste lading. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = +4 µCqR = +2 µCqM = +2 µCrL = 12 cmrR = 18 cm
F = N
2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk
6 cm6 cm+q1​ = +1 µC+q3​ = +4 µC+q2​ = +1 µC

Drie positieve puntladingen bevinden zich op de hoekpunten van een rechthoekige driehoek: q₃ = 4 µC zit in het hoekpunt met de rechte hoek, q₁ = 1 µC zit 6 cm daarvandaan langs de ene rechthoekszijde en q₂ = 1 µC zit 6 cm daarvandaan langs de andere rechthoekszijde. Bereken de grootte van de resulterende elektrische kracht F op q₃.

q1 = 1 µCq2 = 1 µCq3 = 4 µCr13 = 6 cmr23 = 6 cm
F = N
3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩAR4​3 ΩB

Vind de vervangingsweerstand Req die de bron V1 ziet.

V1 = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 ΩR4 = 3 Ω
Req = Ω
4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk
R1​ = 2 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​30 ΩIR2​AR4​12 ΩBR6​12 Ω

Vind de stroom IR2 door R2.

V1 = 24 VR1 = 2 ΩR2 = 30 ΩR3 = 4 ΩR4 = 12 ΩR5 = 20 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld
+−Vs​10 Vt = 0R = 47 ΩL68 mHi(t)

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Hoe lang na het sluiten van de schakelaar bereikt de stroom 95% van zijn eindwaarde? Vind t.

Vs = 10 VR = 47 ΩL = 68 mH
t = ms
6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk
+−Vs​12 Vt = 0R = 4,7 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 20 V

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 20 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Hoe lang duurt het voordat vC 17,6 V bereikt? Vind t.

Vs = 12 VR = 4,7 kΩC = 47 µFvC(0) = 20 V
t = ms
7.Magnetische velden & inductieGemiddeld
5 A8 Ad = 12 cmP

Twee lange evenwijdige draden op 12 cm van elkaar voeren stromen van 5 A en 8 A in dezelfde richting. Bepaal de grootte van de magnetische fluxdichtheid B in punt P, precies halverwege tussen de draden.

I1 = 5 AI2 = 8 Ad = 12 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.Magnetische velden & inductieMoeilijk
Bn = ?12 cm × 10 cmN = 50B = 0,4 T

Een spoel met 50 windingen, 12 cm × 10 cm, draait in een homogeen veld van 0,4 T om een as loodrecht op het veld. Met welke snelheid n (in toeren per minuut) moet hij draaien om een effectieve EMK van 21,33 V te geven?

N = 50A = 12 cm × 10 cmB = 0,4 TErms = 21,33 V
n = rpm
9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld
50 V500 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 10 µFI

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 50 V (rms), 500 Hz. Vind de effectieve stroom I.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 10 µF
I = A
10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk
2 Vf0​R = 20 ΩL = 100 mHC = 0,47 µF

Een serie-RLC-schakeling wordt gevoed door een bron van 2 V (rms) waarvan de frequentie is ingesteld op de resonantiefrequentie van de schakeling. Vind de effectieve spanning VL over de spoel.

V = 2 V (rms)R = 20 ΩL = 100 mHC = 0,47 µF
VL = V

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: F = 3,885 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Kracht van elke lading

Rechts is positief.

FL = +k·4·2 × 10⁻¹²/0,12² = 4,994 N
FR = −k·2·2 × 10⁻¹²/0,18² = −1,11 N

Nettokracht

F = 4,994 + (−1,11) = 3,885 N → |F| = 3,885 N

Antwoord

F = 3,885 N

De nettokracht wijst naar rechts.

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: F = 14,13 N

Wet van Coulomb: twee puntladingen trekken elkaar aan of stoten elkaar af met F = k·|q₁·q₂|/r², met k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Het veld van een puntlading is E = k·|q|/r², gericht van een positieve lading af en naar een negatieve lading toe. Krachten en velden van meerdere ladingen tel je op als vectoren.

Elke kracht op q₃

F1 = k·1·4 × 10⁻¹²/0,06² = 9,989 N
F2 = k·1·4 × 10⁻¹²/0,06² = 9,989 N

Vectorsom

F = √(9,989² + 9,989²) = 14,13 N

Antwoord

F = 14,13 N
3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: Req = 14,57 Ω

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩAR4​3 ΩB

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R3 + R4 = 12 + 3 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 20·15/(20+15) = 8,571 Ω
Req = R1 + 8,571 = 6 + 8,571 = 14,57 Ω

Antwoord

Req = 14,57 Ω
4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: IR2 = 0,6537 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 2 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​30 ΩAR4​12 ΩBR6​12 Ω

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R5 + R6 = 20 + 12 = 32 Ω
R4 ∥ 32 = 8,727 Ω
R3 + 8,727 = 12,73 Ω
R2 ∥ 12,73 = 8,936 Ω
Req = R1 + 8,936 = 2 + 8,936 = 10,94 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

IR1 = V1/Req = 24/10,94 = 2,195 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 2,195·2 = 19,61 V
IR2 = VA/R2 = 19,61/30 = 0,6537 A

Antwoord

IR2 = 0,6537 A
5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 4,334 ms

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 68 mH / 47 Ω = 1,447 ms
i(∞) = Vs/R = 10/47 = 0,2128 A

Los op naar de tijd

0,95 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)
t = −1,447·ln(0,05) = 4,334 ms

Antwoord

t = 4,334 ms
6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 78,79 ms

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 47 µF = 220,9 ms
vC(t) = 12 + (20 − 12)·e−t/τ

Los op naar de tijd

17,6 = 12 + (8)·e−t/τ → e−t/τ = (17,6 − 12)/(20 − 12) = 0,7
t = τ·ln((20 − 12)/(17,6 − 12)) = 220,9·ln(1,429) = 78,79 ms

Antwoord

t = 78,79 ms
7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: B = 10 µT

Magnetisch veld van stromen: rond een lange rechte draad zijn de veldlijnen cirkels (rechterhandgreepregel) met B = μ₀I/(2πr). In het midden van een platte cirkelvormige spoel met N windingen is B = μ₀NI/(2R). In een lange solenoïde is het veld homogeen, B = μ₀nI met n = N/L windingen per meter, ongeacht de straal. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Werk in SI-eenheden (meters en ampère) en tel de velden van meerdere bronnen op als vectoren.

Veld van elke draad in P

B1 = 2 × 10⁻⁷·5/0,06 = 16,67 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·8/0,06 = 26,67 µT

Combineer

B = |B₁ − B₂| = 10 µT

Antwoord

B = 10 µT
8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: n = 1200 rpm

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Piek-EMK

E₀ = √2·Erms = 30,17 V

Hoeksnelheid

ω = E₀/(NBA) = 30,17/(50·0,4·0,012) = 125,7 rad/s

Toeren per minuut

n = 60·125,7/(2π) = 1200 rpm

Antwoord

n = 1200 rpm
9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: I = 0,1753 A

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (282,3)²) = 285,1 Ω

Stroom

Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.

I = V/|Z| = 50/285,1 = 0,1753 A

Antwoord

I = 0,1753 A
10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: VL = 46,13 V

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Resonantie

Bij resonantie heffen de reactanties elkaar op, dus de impedantie is gewoon R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·0,47·10⁻⁶) = 4613 rad/s
I = V/R = 2/20 = 0,1 A

Spanning over de spoel

XL = ω₀L = 4613·0,1 = 461,3 Ω
VL = I·XL = 0,1·461,3 = 46,13 V

Antwoord

VL = 46,13 V

Dit is Q = 23,06 keer de voedingsspanning.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism