Wet van Coulomb en elektrische velden
- Wet van Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Veld van een puntlading
- E = k·|q|/r²
- Constante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Kracht op een lading
- F = q·E
Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Serie- en parallelweerstanden
- Weerstanden in serie
- Req = R1 + R2 + …
- Weerstanden parallel
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Twee parallel
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Wet van Ohm
- V = I·R
- Vermogen
- P = V·I = I²R = V²/R
Methode
- Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
- Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
- Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.
RC- en RL-schakelverschijnselen
- Tijdconstante
- τ = RC | τ = L/R
- Respons
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Condensator bij gelijkstroom
- open klemmen; vC kan niet verspringen
- Spoel bij gelijkstroom
- kortsluiting; iL kan niet verspringen
- Eindtoestand
- t ≈ 5τ
Methode
- Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
- Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
- Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
- Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Magnetische velden & inductie
- Lange rechte draad
- B = μ0I/(2πr)
- Midden van een platte spoel
- B = μ0NI/(2R)
- Lange solenoïde
- B = μ0nI, n = N/L
- Constante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Kracht op een draad
- F = BIL·sin θ
- Kracht op een lading
- F = |q|vB·sin θ
- Cirkelbeweging
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Evenwijdige draden
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Flux
- Φ = BA·cos θ
- Wet van Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Bewegende staaf
- ε = BLv
- Generator
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Zelfinductie
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Wederzijdse inductie
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Snelheidsselector en spectrometer
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Methode
- Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
- Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
- Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
- Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.
Wisselstroomimpedantie en fasoren
- Impedanties
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Hoekfrequentie
- ω = 2πf
- Modulus en hoek
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Wet van Ohm met fasoren
- V = I·Z
Methode
- Reken de frequentie om: ω = 2πf.
- Bereken elke reactantie: XL = ωL en XC = 1/(ωC).
- Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
- Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.
2Oefenopgaven
1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld
Een lading van +4 µC en een lading van +5 µC bevinden zich op 30 cm van elkaar. Punt P ligt op de lijn ertussen, op 18 cm van de eerste lading. Bereken de grootte van de elektrische veldsterkte E in P.
q1 = +4 µCq2 = +5 µCr1 = 18 cmr2 = 12 cm
E = N/C
2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk
Ladingen van +1 µC en +1 µC liggen 6 cm uit elkaar. Punt P ligt op 12 cm van het midden ertussen, op de middelloodlijn. Vind de grootte van de elektrische veldsterkte E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +1 µCq2 = +1 µCd = 6 cmh = 12 cm
E = N/C
3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld
Vind de stroom IR1 die de bron levert, en die door R1 loopt.
V1 = 24 VR1 = 2 ΩR2 = 4 ΩR3 = 20 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk
Vind de stroom IR1 die de bron levert, en die door R1 loopt.
V1 = 15 VR1 = 25 ΩR2 = 4 ΩR3 = 20 ΩR4 = 5 ΩR5 = 10 ΩR6 = 4 Ω
IR1 = A
5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld
De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de spanning vL over de spoel op t = 1 ms.
Vs = 9 VR = 68 ΩL = 22 mHt = 1 ms
vL = V
6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk
De schakelaar is al lang gesloten, dus de schakeling is in de stationaire toestand. Op t = 0 gaat de schakelaar open. Vind de condensatorspanning vC op t = 400 ms.
Vs = 10 VR1 = 3,3 kΩR2 = 3,3 kΩC = 100 µFt = 400 ms
vC = V
7.Magnetische velden & inductieGemiddeld
Een cirkelvormige lus ligt in een homogeen magnetisch veld dat het papier uit wijst. De veldsterkte neemt toe. Klik op de richting van de geïnduceerde stroom in de lus, gezien in de tekening.
B: het papier uitdB/dt > 0
- 1rechtsdraaiend
- 2tegen de klok in
8.Magnetische velden & inductieMoeilijk
De stroom in een spoel van 500 mH verandert gelijkmatig van 1 A naar 3 A in 5 ms. Bepaal de grootte van de zelfgeïnduceerde EMK ε.
L = 500 mH1 A → 3 AΔt = 5 ms
ε = V
9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld
Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 12 V (rms), 50 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).
V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 22 µF
φ = °
10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk
Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 50 V (rms), 200 Hz. Vind de effectieve stroom I.
V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF
I = A
3Oplossingen
1.Wet van Coulomb en elektrische velden
Antwoord: E = 2,012 × 10⁶ N/C
Wet van Coulomb: twee puntladingen trekken elkaar aan of stoten elkaar af met F = k·|q₁·q₂|/r², met k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Het veld van een puntlading is E = k·|q|/r², gericht van een positieve lading af en naar een negatieve lading toe. Krachten en velden van meerdere ladingen tel je op als vectoren.
Veld van elke lading
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0,18² = 1,11 × 10⁶ N/C
E2 = k·5 × 10⁻⁶/0,12² = 3,122 × 10⁶ N/C
Richtingen en som
Beide ladingen zijn positief: in P wijzen hun velden van de eigen lading af, dus in tegengestelde richting.
E = |1,11 × 10⁶ − 3,122 × 10⁶| = 2,012 × 10⁶ N/C
Antwoord
E = 2,012 × 10⁶ N/C
2.Wet van Coulomb en elektrische velden
Antwoord: E = 1,14 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Afstand en veld van één lading
r = √(3² + 12²) = 12,37 cm
E1 = k·1 × 10⁻⁶/0,1237² = 587582 N/C
Componenten
De componenten langs de verbindingslijn heffen elkaar op.
E = 2·E1·(h/r) = 2·587582·0,9701 = 1,14 × 10⁶ N/C
Antwoord
E = 1,14 × 10⁶ N/C
Het veld wijst langs de middelloodlijn, van de ladingen af.
3.Serie- en parallelweerstanden
Antwoord: IR1 = 4,438 A
Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.
Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde
Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.
R3 + R4 = 20 + 3 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 4·23/(4+23) = 3,407 Ω
Req = R1 + 3,407 = 2 + 3,407 = 5,407 Ω
Stroom uit de bron
De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.
IR1 = V1/Req = 24/5,407 = 4,438 A
Antwoord
IR1 = 4,438 A
4.Serie- en parallelweerstanden
Antwoord: IR1 = 0,5278 A
Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.
Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde
Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.
R5 + R6 = 10 + 4 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 3,684 Ω
R3 + 3,684 = 23,68 Ω
R2 ∥ 23,68 = 3,422 Ω
Req = R1 + 3,422 = 25 + 3,422 = 28,42 Ω
Stroom uit de bron
De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.
IR1 = V1/Req = 15/28,42 = 0,5278 A
Antwoord
IR1 = 0,5278 A
5.RC- en RL-schakelverschijnselen
Antwoord: vL = 0,4091 V
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Tijdconstante en eindstroom
Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.
τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0,3235 ms
i(∞) = Vs/R = 9/68 = 0,1324 A
Spoelspanning
Op t = 0 staat de hele voedingsspanning over de spoel; daarna neemt die af tot nul.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 9·e−1/0,3235 = 0,4091 V
Antwoord
vL = 0,4091 V
6.RC- en RL-schakelverschijnselen
Antwoord: vC = 1,488 V
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Beginspanning van de condensator
In de stationaire toestand is de condensator een open circuit, dus R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler. De condensatorspanning kan niet verspringen als de schakelaar opent.
vC(0) = 10·3,3/(3,3 + 3,3) = 5 V
Tijdconstante nadat de schakelaar opent
τ = R2·C = 3,3·100 = 330 ms
Ontlading
vC(t) = 5·e−400/330 = 1,488 V
Antwoord
vC = 1,488 V
7.Magnetische velden & inductie
Antwoord: rechtsdraaiend
Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).
Fluxverandering
De flux het papier uit neemt toe, of de flux het papier in neemt af.
Veld van de geïnduceerde stroom
De geïnduceerde stroom werkt de verandering tegen.
Geïnduceerd veld binnen de lus: het papier in.
Richting van de stroom
Rechterhandgreepregel: een stroom tegen de klok in geeft een veld het papier uit binnen de lus.
rechtsdraaiend
Antwoord
rechtsdraaiend
8.Magnetische velden & inductie
Antwoord: ε = 200 V
Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).
Zelfgeïnduceerde EMK
De EMK werkt de stroomverandering tegen (Lenz), dus haar teken is tegengesteld aan ΔI; de grootte is L·|ΔI|/Δt.
ε = L·ΔI/Δt = 0,5·2/0,005 = 200 V
Antwoord
ε = 200 V
9.Wisselstroomimpedantie en fasoren
Antwoord: φ = −52,21 °
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
Reactanties
ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,05 = 15,71 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω
Impedantie
In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−129)²) = 163,2 Ω
Fasehoek
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−129/100) = −52,21°
Antwoord
φ = −52,21°
10.Wisselstroomimpedantie en fasoren
Antwoord: I = 0,1669 A
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
Reactanties
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω
Impedantie
In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−298,9)²) = 299,6 Ω
Stroom
Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.
I = V/|Z| = 50/299,6 = 0,1669 A
Antwoord
I = 0,1669 A
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism