Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Veld van een puntlading
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading
F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie
Req = R1 + R2 + …
Weerstanden parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Twee parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Wet van Ohm
V = I·R
Vermogen
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
  2. Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
  4. Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante
τ = RC | τ = L/R
Respons
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensator bij gelijkstroom
open klemmen; vC kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom
kortsluiting; iL kan niet verspringen
Eindtoestand
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
  2. Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
  3. Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
  4. Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad
B = μ0I/(2πr)
Midden van een platte spoel
B = μ0NI/(2R)
Lange solenoïde
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad
F = BIL·sin θ
Kracht op een lading
F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flux
Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Zelfinductie
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Snelheidsselector en spectrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
  2. Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
  3. Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
  4. Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Hoekfrequentie
ω = 2πf
Modulus en hoek
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren
V = I·Z

Methode

  1. Reken de frequentie om: ω = 2πf.
  2. Bereken elke reactantie: XL = ωL en XC = 1/(ωC).
  3. Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
  4. Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld
−−2 µC−−6 µC−−6 µC18 cm + 12 cm

Drie puntladingen liggen op een rechte lijn: −2 µC links, −6 µC rechts op 30 cm afstand, en −6 µC ertussen, op 18 cm van de linker lading. Vind de grootte van de netto elektrische kracht F op de middelste lading. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = −2 µCqR = −6 µCqM = −6 µCrL = 18 cmrR = 12 cm
F = N
2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk
L = 30 cm12°qq

Twee identieke kleine balletjes, elk met een massa van 5 g, hangen aan hetzelfde punt aan isolerende draadjes van 30 cm lang. Ze krijgen gelijke ladingen en elk draadje komt tot rust onder 12° met de verticaal. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de lading q op elk balletje in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 30 cmθ = 12°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld
R1​ = 2 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​15 ΩIR2​AR4​4 ΩB

Vind de stroom IR2 door R2.

V1 = 15 VR1 = 2 ΩR2 = 15 ΩR3 = 5 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk
R1​ = 10 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​6 ΩIR2​AR4​6 ΩBR6​20 Ω

Vind de stroom IR2 door R2.

V1 = 5 VR1 = 10 ΩR2 = 6 ΩR3 = 25 ΩR4 = 6 ΩR5 = 20 ΩR6 = 20 Ω
IR2 = A
5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld
+−Vs​12 Vt = 0R = 47 ΩL22 mHi(t)

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de energie W die op t = 1 ms in de spoel is opgeslagen, in mJ.

Vs = 12 VR = 47 ΩL = 22 mHt = 1 ms
W = mJ
6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk
+−Vs​15 Vt = 0R = 4,7 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 2 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Vind de condensatorspanning vC op t = 400 ms.

Vs = 15 VR = 4,7 kΩC = 47 µFvC(0) = 2 Vt = 400 ms
vC = V
7.Magnetische velden & inductieGemiddeld
dB/dt < 0I = ?

Een cirkelvormige lus ligt in een homogeen magnetisch veld dat het papier in wijst. De veldsterkte neemt af. Klik op de richting van de geïnduceerde stroom in de lus, gezien in de tekening.

B: het papier indB/dt < 0
  1. 1rechtsdraaiend
  2. 2tegen de klok in
8.Magnetische velden & inductieMoeilijk
I = 1,5 Al = 50 cmN = 1000, ⌀ 1 cm

Een lange solenoïde zonder kern heeft 1000 windingen, een lengte van 50 cm en een diameter van 1 cm. Bepaal de energie W die in het magnetisch veld is opgeslagen als hij 1,5 A voert.

N = 1000l = 50 cm⌀ = 1 cmI = 1,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld
Vf0​ = 50 HzRL = 5 mHC = ?

Een serie-RLC-schakeling met L = 5 mH moet resoneren bij 50 Hz. Vind de benodigde capaciteit C.

f0 = 50 HzL = 5 mH
C = µF
10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk
2 Vf0​R = 20 ΩL = 50 mHC = 0,22 µF

Een serie-RLC-schakeling wordt gevoed door een bron van 2 V (rms) waarvan de frequentie is ingesteld op de resonantiefrequentie van de schakeling. Vind de effectieve spanning VL over de spoel.

V = 2 V (rms)R = 20 ΩL = 50 mHC = 0,22 µF
VL = V

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: F = 19,15 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Kracht van elke lading

Rechts is positief.

FL = +k·2·6 × 10⁻¹²/0,18² = 3,33 N
FR = −k·6·6 × 10⁻¹²/0,12² = −22,47 N

Nettokracht

F = 3,33 + (−22,47) = −19,15 N → |F| = 19,15 N

Antwoord

F = 19,15 N

De nettokracht wijst naar links.

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: q = 134,3 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Elektrische kracht uit het evenwicht

Het horizontale deel van de spankracht houdt F in evenwicht, het verticale deel m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 12° = 0,01043 N

Afstand

r = 2·L·sin θ = 2·0,3·sin 12° = 0,1247 m

Lading

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1247·√(0,01043/8,99 × 10⁹) = 1,343 × 10⁻⁷ C = 134,3 nC

Antwoord

q = 134,3 nC
3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: IR2 = 0,7377 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 2 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​15 ΩAR4​4 ΩB

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R3 + R4 = 5 + 4 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 15·9/(15+9) = 5,625 Ω
Req = R1 + 5,625 = 2 + 5,625 = 7,625 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

IR1 = V1/Req = 15/7,625 = 1,967 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 1,967·2 = 11,07 V
IR2 = VA/R2 = 11,07/15 = 0,7377 A

Antwoord

IR2 = 0,7377 A
4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: IR2 = 0,278 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 10 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​6 ΩAR4​6 ΩBR6​20 Ω

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R5 + R6 = 20 + 20 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 5,217 Ω
R3 + 5,217 = 30,22 Ω
R2 ∥ 30,22 = 5,006 Ω
Req = R1 + 5,006 = 10 + 5,006 = 15,01 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

IR1 = V1/Req = 5/15,01 = 0,3332 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0,3332·10 = 1,668 V
IR2 = VA/R2 = 1,668/6 = 0,278 A

Antwoord

IR2 = 0,278 A
5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: W = 0,5577 mJ

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0,4681 ms
i(∞) = Vs/R = 12/47 = 0,2553 A

Stroom op het gegeven tijdstip

i(t) = 0,2553·(1 − e−1/0,4681) = 0,2252 A

Opgeslagen energie

W = ½·L·i² = ½·22·0,2252² = 0,5577 mJ

Antwoord

W = 0,5577 mJ
6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: vC = 12,87 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 47 µF = 220,9 ms
vC(t) = 15 + (2 − 15)·e−t/τ

Spanning op het gegeven tijdstip

vC(400) = 15 + (−13)·e−400/220,9 = 12,87 V

Antwoord

vC = 12,87 V
7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: rechtsdraaiend

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Fluxverandering

De flux het papier uit neemt toe, of de flux het papier in neemt af.

Veld van de geïnduceerde stroom

De geïnduceerde stroom werkt de verandering tegen.

Geïnduceerd veld binnen de lus: het papier in.

Richting van de stroom

Rechterhandgreepregel: een stroom tegen de klok in geeft een veld het papier uit binnen de lus.

rechtsdraaiend

Antwoord

rechtsdraaiend
8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: W = 222,1 µJ

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Zelfinductie

L = μ₀N²A/l = 197,4 µH

Opgeslagen energie

W = ½LI² = ½·0,0001974·1,5² = 0,0002221 J = 222,1 µJ

Antwoord

W = 222,1 µJ
9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: C = 2026 µF

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Resonantievoorwaarde

Bij resonantie heffen de inductieve en capacitieve reactantie elkaar op: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(314,2²·0,005) = 2026 µF

Antwoord

C = 2026 µF
10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: VL = 47,67 V

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Resonantie

Bij resonantie heffen de reactanties elkaar op, dus de impedantie is gewoon R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·0,22·10⁻⁶) = 9535 rad/s
I = V/R = 2/20 = 0,1 A

Spanning over de spoel

XL = ω₀L = 9535·0,05 = 476,7 Ω
VL = I·XL = 0,1·476,7 = 47,67 V

Antwoord

VL = 47,67 V

Dit is Q = 23,84 keer de voedingsspanning.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism