Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Veld van een puntlading: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading: F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Weerstanden parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Twee parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Wet van Ohm: V = I·R
Vermogen: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad: B = μ₀I/(2πr)
Midden van een platte spoel: B = μ₀NI/(2R)
Lange solenoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad: F = BIL·sin θ
Kracht op een lading: F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Zelfinductie: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Snelheidsselector en spectrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld

Een lading van +4 µC en een lading van +10 µC bevinden zich op 40 cm van elkaar. Punt P ligt op de lijn ertussen, op 30 cm van de eerste lading. Bereken de grootte van de elektrische veldsterkte E in P.

q₁ = +4 µCq₂ = +10 µCr₁ = 30 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk

Ladingen van +8 µC en −8 µC liggen 8 cm uit elkaar. Punt P ligt op 6 cm van het midden ertussen, op de middelloodlijn. Vind de grootte van de elektrische veldsterkte E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +8 µCq₂ = −8 µCd = 8 cmh = 6 cm

E = N/C

3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld

Vind de vervangingsweerstand R_eq die de bron V₁ ziet.

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk

Vind de stroom I_R1 die de bron levert, en die door R₁ loopt.

V₁ = 5 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 3 Ω

I_R1 = A

5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert een constante stroom van 2,5 A. Op t = 0 sluit de schakelaar de kring via R en wordt de bron verwijderd, zodat de spoelstroom via R uitdooft. Hoe lang duurt het voordat de stroom gedaald is tot 1,25 A? Vind t.

i(0) = 2,5 AR = 47 ΩL = 22 mH

t = ms

6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Een timer begint op t = 0 een ongeladen condensator via een weerstand op te laden uit een voeding van 9 V. Hij moet schakelen als de condensatorspanning 5,4 V bereikt, precies 10 ms na de start. Vind met R = 10 kΩ de benodigde capaciteit C.

V_s = 9 VV_th = 5,4 VT = 10 msR = 10 kΩ

C = µF

7.Magnetische velden & inductieGemiddeld

Twee lange evenwijdige draden op 5 cm van elkaar voeren stromen van 30 A en 2 A in tegengestelde richting. Bepaal de kracht per meter lengte F/L tussen de draden.

I₁ = 30 AI₂ = 2 Ad = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Magnetische velden & inductieMoeilijk

Een lange solenoïde zonder kern heeft 200 windingen, een lengte van 10 cm en een diameter van 1 cm. Bepaal de energie W die in het magnetisch veld is opgeslagen als hij 0,5 A voert.

N = 200l = 10 cm⌀ = 1 cmI = 0,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een weerstand en een condensator zijn parallel aangesloten op een voeding van 100 V (rms), 200 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩC = 47 µF

φ = °

10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een weerstand R₁ staat in serie met een parallelschakeling van R₂ en een condensator C, aangesloten op een voeding van 12 V (rms), 200 Hz. Vind de grootte van de impedantie |Z|.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 50 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: E = 8,59 × 10⁶ N/C

Wet van Coulomb: twee puntladingen trekken elkaar aan of stoten elkaar af met F = k·|q₁·q₂|/r², met k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Het veld van een puntlading is E = k·|q|/r², gericht van een positieve lading af en naar een negatieve lading toe. Krachten en velden van meerdere ladingen tel je op als vectoren.

Veld van elke lading

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,3² = 399556 N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,1² = 8,99 × 10⁶ N/C

Richtingen en som

Beide ladingen zijn positief: in P wijzen hun velden van de eigen lading af, dus in tegengestelde richting.

E = |399556 − 8,99 × 10⁶| = 8,59 × 10⁶ N/C

Antwoord

E = 8,59 × 10⁶ N/C

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: E = 1,534 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Afstand en veld van één lading

r = √(4² + 6²) = 7,211 cm

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,07211² = 1,383 × 10⁷ N/C

Componenten

De componenten langs de middelloodlijn heffen elkaar op.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·1,383 × 10⁷·0,5547 = 1,534 × 10⁷ N/C

Antwoord

E = 1,534 × 10⁷ N/C

Het veld wijst evenwijdig aan de lijn van de positieve naar de negatieve lading.

3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: R_eq = 22,73 Ω

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₃ + R₄ = 4 + 2 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 5·6/(5+6) = 2,727 Ω

R_eq = R₁ + 2,727 = 20 + 2,727 = 22,73 Ω

Antwoord

R_eq = 22,73 Ω

4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R1 = 0,4219 A

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₅ + R₆ = 3 + 3 = 6 Ω

R₄ ∥ 6 = 3,75 Ω

R₃ + 3,75 = 33,75 Ω

R₂ ∥ 33,75 = 8,852 Ω

R_eq = R₁ + 8,852 = 3 + 8,852 = 11,85 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/11,85 = 0,4219 A

Antwoord

I_R1 = 0,4219 A

5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 0,3245 ms

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante

τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0,4681 ms

Los op naar de tijd

1,25 = 2,5·e^−t/τ → t = τ·ln(2,5/1,25)

t = 0,4681·ln(2) = 0,3245 ms

Antwoord

t = 0,3245 ms

6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: C = 1,091 µF

Benodigde tijdconstante

5,4 = 9·(1 − e^−10/τ) → τ = 10/ln(9/(9 − 5,4))

τ = 10/0,9163 = 10,91 ms

Capaciteit

kΩ maal µF geeft milliseconden.

C = τ/R = 10,91/10 = 1,091 µF

Antwoord

C = 1,091 µF

7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: F/L = 240 µN/m

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Kracht per meter

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·30·2/0,05 = 240 µN/m

Antwoord

F/L = 240 µN/m

Stromen in tegengestelde richting stoten elkaar af.

8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: W = 4,935 µJ

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Zelfinductie

L = μ₀N²A/l = 39,48 µH

Opgeslagen energie

W = ½LI² = ½·3,948 × 10⁻⁵·0,5² = 4,935 × 10⁻⁶ J = 4,935 µJ

Antwoord

W = 4,935 µJ

9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = −67,06 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Takstromen

Beide takken zijn rechtstreeks op de voeding aangesloten, dus elke tak krijgt de volle spanning V.

I_R = V/R = 100/40 = 2,5 A

I_X = V/X_C = 100/16,93 = 5,906 A

Totale stroom

De stroom door de weerstand is in fase met V en de reactieve stroom is 90° uit fase, dus ze tellen op als de zijden van een rechthoekige driehoek.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2,5² + 5,906²) = 6,414 A

Fasehoek

De condensatorstroom ijlt voor op V, dus de totale stroom ijlt voor en de hoek is negatief.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(5,906/2,5) = −67,06°

Antwoord

φ = −67,06°

10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: |Z| = 29,38 Ω

Reactantie

X_C = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Parallelschakeling

Vermenigvuldig teller en noemer met de complex geconjugeerde om Z_p te splitsen in een reëel en een imaginair deel.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 5,144 − j15,19 Ω

Totale impedantie

Z = 20 + 5,144 − j15,19 = 25,14 − j15,19 Ω

|Z| = √(25,14² + 15,19²) = 29,38 Ω

Antwoord

|Z| = 29,38 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism