Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.
Gelijkstroommotoren
Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc
Methode
Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
2Oefenopgaven
1.DC-DC-omzettersGemiddeld
Een ideale buck-omzetter zet 36 V om in 18 V bij een schakelfrequentie van 500 kHz. Bepaal de zelfinductie L die de piek-piek-rimpelstroom door de spoel op 0,3 A houdt.
Vin = 36 VVo = 18 Vf = 500 kHzΔIL = 0,3 A
L = µH
2.DC-DC-omzettersMoeilijk
Een ideale inverterende buck-boost-omzetter zet 15 V om in −45 V voor een belasting van 12 Ω bij 25 kHz. Bepaal de kleinste zelfinductie Lcrit voor continue geleiding.
Vin = 15 VVo = −45 Vf = 25 kHzR = 12 Ω
Lcrit = µH
3.GelijkstroommotorenGemiddeld
Een gelijkstroommotor (k = 0,12 N·m/A, Ra = 1,2 Ω) draait op 24 V en drijft een lastkoppel van 0,24 N·m aan. Bepaal zijn toerental n in rpm.
V = 24 Vk = 0,12 N·m/ARa = 1,2 ΩT = 0,24 N·m
n = rpm
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
Een gelijkstroommotor van 120 V heeft een ankerweerstand van 1 Ω. Bepaal de serie-aanloopweerstand Rst die de aanloopstroom beperkt tot 30 A.
V = 120 VRa = 1 ΩImax = 30 A
Rst = Ω
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
Twee belastingen zijn parallel aangesloten op een eenfasige voeding van 230 V: een belasting van 3 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,75 en een verwarmingselement van 16 kW (arbeidsfactor 1). Vind de totale stroom I die uit de voeding wordt opgenomen.
Een eenfasige belasting neemt 30 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,6 uit een voeding van 230 V, 60 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,95. Vind de benodigde capaciteit C.
P = 30 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,95V = 230 Vf = 60 Hz
C = µF
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een driefasige inductiemotor levert bij vollast 110 kW mechanisch vermogen. Bij deze belasting is het rendement 91% en de arbeidsfactor 0,86 inductief. Het net heeft een lijnspanning van 690 V. Vind de lijnstroom IL.
Pout = 110 kWη = 91%cos φ = 0,86VL = 690 V
IL = A
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 200 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een net van 480 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,95 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in ster geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.
P = 200 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,95VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Oplossingen
1.DC-DC-omzetters
Antwoord: L = 60 µH
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 18/36 = 0,5
Zelfinductie
L = 18·0,5/(0,3·500·10³) = 60 µH
Antwoord
L = 60 µH
2.DC-DC-omzetters
Antwoord: Lcrit = 15 µH
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 45/(15 + 45) = 0,75
Grensvoorwaarde
Stel de gemiddelde spoelstroom gelijk aan de helft van de rimpelstroom en los op voor L.
Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)
Kritieke zelfinductie
Lcrit = (1 − 0,75)²·12/(225·10³) = 15 µH
Antwoord
Lcrit = 15 µH
3.Gelijkstroommotoren
Antwoord: n = 1719 rpm
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Ankerstroom
Ia = T/k = 0,24/0,12 = 2 A
Tegen-EMK en toerental
E = 24 − 2·1,2 = 21,6 V
ω = E/k = 180 rad/s → n = 1719 rpm
Antwoord
n = 1719 rpm
4.Gelijkstroommotoren
Antwoord: Rst = 3 Ω
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Totale weerstand
Ra + Rst = 120/30 = 4 Ω
Aanloopweerstand
Rst = 4 − 1 = 3 Ω
Antwoord
Rst = 3 Ω
De weerstand wordt stap voor stap uitgeschakeld naarmate de motor sneller draait en de tegen-EMK groeit.
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: I = 83,41 A
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen van elke belasting
Een inductieve belasting neemt blindvermogen op (Q > 0); een capacitieve belasting levert het (Q < 0).
Q1 = 3·tan(arccos 0,75) = 2,646 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar
Totalen
P = 3 + 16 = 19 kW
Q = 2,646 + 0 = 2,646 kvar
S = √(19² + 2,646²) = 19,18 kVA
Totale stroom
I = S/V = 19183/230 = 83,41 A
Antwoord
I = 83,41 A
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: C = 1511 µF
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.
Q1 = P·tan φ1 = 30·tan(53,13°) = 40 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 30·tan(18,19°) = 9,861 kvar
QC = Q1 − Q2 = 30,14 kvar
Capaciteit
Een condensator over de voeding levert Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 30139/(2π·60·230²) = 1511 µF
Antwoord
C = 1511 µF
7.Draaistroomvermogen
Antwoord: IL = 117,6 A
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Opgenomen elektrisch vermogen
Pin = Pout/η = 110/0,91 = 120,9 kW
Lijnstroom
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 120879/(√3·690·0,86) = 117,6 A
Antwoord
IL = 117,6 A
8.Draaistroomvermogen
Antwoord: Cph = 970,1 µF
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
Q1 = 200·tan(acos 0,8) = 200·0,75 = 150 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,95) = 200·0,3287 = 65,74 kvar
Blindvermogen van de condensatoren
QC = Q1 − Q2 = 84,26 kvar
Capaciteit per fase
In een sterbank is elke condensator aangesloten tussen een lijn en het sterpunt.