Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.
Gelijkstroommotoren
Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc
Methode
Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
2Oefenopgaven
1.DC-DC-omzettersGemiddeld
Een ideale buck-omzetter zet 24 V om in 7,2 V bij een schakelfrequentie van 200 kHz. Bepaal de zelfinductie L die de piek-piek-rimpelstroom door de spoel op 2 A houdt.
Vin = 24 VVo = 7,2 Vf = 200 kHzΔIL = 2 A
L = µH
2.DC-DC-omzettersMoeilijk
Een buck-omzetter zet 9 V om in 3,6 V bij 500 kHz met L = 68 µH. Bepaal de kleinste belastingsstroom Io,min waarbij hij in continue geleiding blijft.
Vin = 9 VVo = 3,6 Vf = 500 kHzL = 68 µH
Io,min = A
3.GelijkstroommotorenGemiddeld
Een gelijkstroommotor levert 0,5 kW mechanisch vermogen bij 2900 rpm. Bepaal het askoppel T.
P = 0,5 kWn = 2900 rpm
T = N·m
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
Een kleine gelijkstroommotor heeft een ankerweerstand van 2 Ω en draait op 120 V. Bepaal het grootste mechanische vermogen Pmax dat hij bij enig toerental kan ontwikkelen, als je rotatieverliezen verwaarloost.
V = 120 VRa = 2 Ω
Pmax = W
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
Een eenfasige motor neemt 19 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een voeding van 240 V. Vind het blindvermogen Q dat hij opneemt.
P = 19 kWpf = 0,65V = 240 V
Q = kvar
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
Een bron van 50 V (rms), 60 Hz heeft een inwendige impedantie Zs = 20 + j20 Ω. De belastingsimpedantie ZL kan vrij worden gekozen. Vind het maximale werkelijk vermogen Pmax dat aan de belasting kan worden geleverd.
Vs = 50 V (rms)f = 60 HzZs = 20 + j20 Ω
Pmax = W
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een symmetrische driefasige belasting neemt een lijnstroom van 40 A op uit een net met een lijnspanning van 400 V. De arbeidsfactor is 0,85 inductief. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.
VL = 400 VIL = 40 Acos φ = 0,85
P = kW
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 120 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,7 uit een net van 690 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,9 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in ster geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.
P = 120 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Oplossingen
1.DC-DC-omzetters
Antwoord: L = 12,6 µH
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 7,2/24 = 0,3
Zelfinductie
L = 16,8·0,3/(2·200·10³) = 12,6 µH
Antwoord
L = 12,6 µH
2.DC-DC-omzetters
Antwoord: Io,min = 0,03176 A
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 3,6/9 = 0,4
Rimpelstroom
ΔIL = 3,6·0,6/(68·10⁻⁶·500·10³) = 0,06353 A
Belastingsstroom op de grens
Io,min = ΔIL/2 = 0,03176 A
Antwoord
Io,min = 0,03176 A
Onder deze stroom gaat de omzetter over op discontinue geleiding en stijgt Vo boven D·Vin.
3.Gelijkstroommotoren
Antwoord: T = 1,646 N·m
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Snelheid in rad/s
ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
Koppel
T = P/ω = 500/303,7 = 1,646 N·m
Antwoord
T = 1,646 N·m
4.Gelijkstroommotoren
Antwoord: Pmax = 1800 W
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Vermogen als functie van de tegen-EMK
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V
Maximaal vermogen
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 120²/(4·2) = 1800 W
Antwoord
Pmax = 1800 W
Op dit punt is het rendement slechts 50 %, dus echte motoren draaien ruim boven het halve toerental.
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: Q = 22,21 kvar
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Hoek
φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169
Blindvermogen
Q = P·tan φ = 19·1,169 = 22,21 kvar
Antwoord
Q = 22,21 kvar
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: Pmax = 31,25 W
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Complex geconjugeerde aanpassing
De reactantie van de belasting heft die van de bron op, en de belastingsweerstand is gelijk aan de bronweerstand.
ZL = Zs* = 20 − j20 Ω
Maximaal vermogen
I = Vs/(2Rs) = 50/40 = 1,25 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 50²/(4·20) = 31,25 W
Antwoord
Pmax = 31,25 W
7.Draaistroomvermogen
Antwoord: P = 23,56 kW
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Schijnbaar vermogen
S = √3·VL·IL = √3·400·40 = 27,71 kVA
Werkelijk vermogen
P = S·cos φ = 27,71·0,85 = 23,56 kW
Antwoord
P = 23,56 kW
8.Draaistroomvermogen
Antwoord: Cph = 429,9 µF
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
Q1 = 120·tan(acos 0,7) = 120·1,02 = 122,4 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,9) = 120·0,4843 = 58,12 kvar
Blindvermogen van de condensatoren
QC = Q1 − Q2 = 64,31 kvar
Capaciteit per fase
In een sterbank is elke condensator aangesloten tussen een lijn en het sterpunt.