Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.
Gelijkstroommotoren
Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc
Methode
Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
2Oefenopgaven
1.DC-DC-omzettersGemiddeld
Een ideale buck-omzetter zet 15 V om in 10,5 V bij 50 kHz met L = 33 µH. Bepaal de piek-piek-rimpelstroom ΔIL door de spoel.
Vin = 15 VVo = 10,5 Vf = 50 kHzL = 33 µH
ΔIL = A
2.DC-DC-omzettersMoeilijk
Een ideale inverterende buck-boost-omzetter zet 15 V om in −10 V voor een belasting van 8 Ω bij 500 kHz. Bepaal de kleinste zelfinductie Lcrit voor continue geleiding.
Vin = 15 VVo = −10 Vf = 500 kHzR = 8 Ω
Lcrit = µH
3.GelijkstroommotorenGemiddeld
Een gelijkstroommotor (k = 0,3 N·m/A, Ra = 0,4 Ω) draait op 120 V en drijft een lastkoppel van 12 N·m aan. Bepaal zijn toerental n in rpm.
V = 120 Vk = 0,3 N·m/ARa = 0,4 ΩT = 12 N·m
n = rpm
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
Een gelijkstroommotor (k = 1,5 V·s/rad, Ra = 2 Ω) op een vaste voeding van 120 V drijft een last van 3 N·m aan. Bepaal de serieweerstand Rs die hem vertraagt tot 400 rpm.
Een inductieve belasting neemt 13,5 A en 2795 W op uit een eenfasige voeding van 230 V (rms). Modelleer haar als een weerstand R in serie met een reactantie X. Vind X.
V = 230 VI = 13,5 AP = 2795 W
X = Ω
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
Een eenfasige transformator van 150 kVA voedt een belasting van 37 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,65. Hoeveel extra werkelijk vermogen ΔP kan er als resistieve belasting (arbeidsfactor 1) worden bijgeplaatst voordat de transformator zijn nominale kVA bereikt?
Smax = 150 kVAP1 = 37 kWpf1 = 0,65
ΔP = kW
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een symmetrische driefasige belasting neemt een lijnstroom van 80 A op uit een net met een lijnspanning van 400 V. De arbeidsfactor is 0,9 inductief. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.
VL = 400 VIL = 80 Acos φ = 0,9
P = kW
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 50 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een net van 400 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,9 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. Vind het totale blindvermogen QC dat de condensatorbank moet leveren, in kvar.
P = 50 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3Oplossingen
1.DC-DC-omzetters
Antwoord: ΔIL = 1,909 A
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 10,5/15 = 0,7
Spoelspanning tijdens de aan-tijd
Zolang S aan staat, ligt de spoel tussen Vin en Vo.
VL = 15 − 10,5 = 4,5 V
Rimpelstroom
ΔIL = VL·D/(L·f) = 4,5·0,7/(33·10⁻⁶·50·10³) = 1,909 A
Antwoord
ΔIL = 1,909 A
2.DC-DC-omzetters
Antwoord: Lcrit = 2,88 µH
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 10/(15 + 10) = 0,4
Grensvoorwaarde
Stel de gemiddelde spoelstroom gelijk aan de helft van de rimpelstroom en los op voor L.
Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)
Kritieke zelfinductie
Lcrit = (1 − 0,4)²·8/(2500·10³) = 2,88 µH
Antwoord
Lcrit = 2,88 µH
3.Gelijkstroommotoren
Antwoord: n = 3310 rpm
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Ankerstroom
Ia = T/k = 12/0,3 = 40 A
Tegen-EMK en toerental
E = 120 − 40·0,4 = 104 V
ω = E/k = 346,7 rad/s → n = 3310 rpm
Antwoord
n = 3310 rpm
4.Gelijkstroommotoren
Antwoord: Rs = 26,58 Ω
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Stroom en tegen-EMK
Ia = 3/1,5 = 2 A
E = 1,5·41,89 = 62,83 V
Serieweerstand
Ra + Rs = (120 − 62,83)/2 = 28,58 Ω
Rs = 26,58 Ω
Antwoord
Rs = 26,58 Ω
De weerstand verspilt 106,3 W; een chopper regelt het toerental met veel minder verlies.
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: X = 7,421 Ω
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Weerstand uit het werkelijk vermogen
R = P/I² = 2795/13,5² = 15,34 Ω
Reactantie uit de impedantie
|Z| = V/I = 230/13,5 = 17,04 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(17,04² − 15,34²) = 7,421 Ω
Antwoord
X = 7,421 Ω
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: ΔP = 106,6 kW
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen van de bestaande belasting
Q1 = 37·tan(arccos 0,65) = 43,26 kvar
Grootste totale werkelijk vermogen
Bij volle belasting is S = Smax, en Q verandert niet door de resistieve belasting.
P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 43,26²) = 143,6 kW
Extra werkelijk vermogen
ΔP = 143,6 − 37 = 106,6 kW
Antwoord
ΔP = 106,6 kW
7.Draaistroomvermogen
Antwoord: P = 49,88 kW
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Schijnbaar vermogen
S = √3·VL·IL = √3·400·80 = 55,43 kVA
Werkelijk vermogen
P = S·cos φ = 55,43·0,9 = 49,88 kW
Antwoord
P = 49,88 kW
8.Draaistroomvermogen
Antwoord: QC = 34,24 kvar
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.