Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.
Gelijkstroommotoren
Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc
Methode
Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
2Oefenopgaven
1.DC-DC-omzettersGemiddeld
Een ideale buck-omzetter zet 15 V om in 6 V bij 50 kHz met L = 330 µH. Bepaal de piek-piek-rimpelstroom ΔIL door de spoel.
Vin = 15 VVo = 6 Vf = 50 kHzL = 330 µH
ΔIL = A
2.DC-DC-omzettersMoeilijk
Een ideale boost-omzetter zet 36 V om in 48 V voor een belasting van 50 Ω bij 40 kHz. Bepaal de kleinste zelfinductie Lcrit voor continue geleiding.
Vin = 36 VVo = 48 Vf = 40 kHzR = 50 Ω
Lcrit = µH
3.GelijkstroommotorenGemiddeld
Een gelijkstroommotor met k = 1,5 V·s/rad draait op 220 V. Bepaal zijn onbelaste toerental n0 in rpm, als je alle verliezen bij nullast verwaarloost.
V = 220 Vk = 1,5 V·s/rad
n0 = rpm
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
Een kleine gelijkstroommotor heeft een ankerweerstand van 4 Ω en draait op 120 V. Bepaal het grootste mechanische vermogen Pmax dat hij bij enig toerental kan ontwikkelen, als je rotatieverliezen verwaarloost.
V = 120 VRa = 4 Ω
Pmax = W
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
Twee belastingen zijn parallel aangesloten op een eenfasige voeding van 400 V: een belasting van 2 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,85 en een belasting van 17 kW met een capacitieve arbeidsfactor van 0,8. Vind de totale stroom I die uit de voeding wordt opgenomen.
Een eenfasige belasting neemt 24 kW op met een inductieve arbeidsfactor van 0,7 uit een voeding van 240 V, 60 Hz. Parallel aan de belasting wordt een condensator van 150 µF aangesloten. Vind de nieuwe arbeidsfactor cos φ die de voeding ziet.
P = 24 kWpf1 = 0,7V = 240 Vf = 60 HzC = 150 µF
cos φ =
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een symmetrische driefasige belasting neemt een lijnstroom van 150 A op uit een net met een lijnspanning van 400 V. De arbeidsfactor is 0,82 inductief. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.
VL = 400 VIL = 150 Acos φ = 0,82
P = kW
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 150 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,78 uit een net van 690 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,92 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in ster geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.
P = 150 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,92VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Oplossingen
1.DC-DC-omzetters
Antwoord: ΔIL = 0,2182 A
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 6/15 = 0,4
Spoelspanning tijdens de aan-tijd
Zolang S aan staat, ligt de spoel tussen Vin en Vo.
VL = 15 − 6 = 9 V
Rimpelstroom
ΔIL = VL·D/(L·f) = 9·0,4/(330·10⁻⁶·50·10³) = 0,2182 A
Antwoord
ΔIL = 0,2182 A
2.DC-DC-omzetters
Antwoord: Lcrit = 87,89 µH
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 1 − 36/48 = 0,25
Grensvoorwaarde
Stel de gemiddelde spoelstroom gelijk aan de helft van de rimpelstroom en los op voor L.
Lcrit = D(1 − D)²·R/(2f)
Kritieke zelfinductie
Lcrit = 0,25(1 − 0,25)²·50/(240·10³) = 87,89 µH
Antwoord
Lcrit = 87,89 µH
3.Gelijkstroommotoren
Antwoord: n0 = 1401 rpm
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Onbelast toerental
ω₀ = V/k = 220/1,5 = 146,7 rad/s
n0 = 60·146,7/(2π) = 1401 rpm
Antwoord
n0 = 1401 rpm
4.Gelijkstroommotoren
Antwoord: Pmax = 900 W
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Vermogen als functie van de tegen-EMK
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V
Maximaal vermogen
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 120²/(4·4) = 900 W
Antwoord
Pmax = 900 W
Op dit punt is het rendement slechts 50 %, dus echte motoren draaien ruim boven het halve toerental.
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: I = 55,54 A
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen van elke belasting
Een inductieve belasting neemt blindvermogen op (Q > 0); een capacitieve belasting levert het (Q < 0).
Q1 = 2·tan(arccos 0,85) = 1,239 kvar
Q2 = −17·tan(arccos 0,8) = −12,75 kvar
Totalen
P = 2 + 17 = 19 kW
Q = 1,239 + (−12,75) = −11,51 kvar
S = √(19² + (−11,51)²) = 22,21 kVA
Totale stroom
I = S/V = 22215/400 = 55,54 A
Antwoord
I = 55,54 A
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: cos φ = 0,749
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.
Q1 = 24·tan(arccos 0,7) = 24,48 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·60·150·10⁻⁶ = 3257 var = 3,257 kvar
Q2 = 24,48 − 3,257 = 21,23 kvar
Nieuw schijnbaar vermogen
S2 = √(24² + 21,23²) = 32,04 kVA
Nieuwe arbeidsfactor
cos φ = P/S2 = 24/32,04 = 0,749
Antwoord
cos φ = 0,749
7.Draaistroomvermogen
Antwoord: P = 85,22 kW
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Schijnbaar vermogen
S = √3·VL·IL = √3·400·150 = 103,9 kVA
Werkelijk vermogen
P = S·cos φ = 103,9·0,82 = 85,22 kW
Antwoord
P = 85,22 kW
8.Draaistroomvermogen
Antwoord: Cph = 377,4 µF
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
Q1 = 150·tan(acos 0,78) = 150·0,8023 = 120,3 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0,92) = 150·0,426 = 63,9 kvar
Blindvermogen van de condensatoren
QC = Q1 − Q2 = 56,44 kvar
Capaciteit per fase
In een sterbank is elke condensator aangesloten tussen een lijn en het sterpunt.