Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.
Gelijkstroommotoren
Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc
Methode
Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
2Oefenopgaven
1.DC-DC-omzettersGemiddeld
Een buck-omzetter zet 12 V om in 3 V voor een belasting van 20 Ω. Hij schakelt met 500 kHz met L = 47 µH. Bepaal de piekspoelstroom Imax.
Vin = 12 VVo = 3 Vf = 500 kHzL = 47 µHR = 20 Ω
Imax = A
2.DC-DC-omzettersMoeilijk
Een buck-omzetter zet 15 V om in 7,5 V bij 25 kHz met L = 150 µH. Bepaal de uitgangscapaciteit C die de piek-piek-rimpel van de uitgangsspanning beperkt tot 10 mV.
Een gelijkstroommotor neemt 4 A op uit een voeding van 120 V. Zijn ankerweerstand is 1 Ω en zijn rotatieverliezen (wrijving, luchtweerstand en ijzer) zijn 37 W. Bepaal zijn rendement η.
V = 120 VIa = 4 ARa = 1 ΩProt = 37 W
η = %
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
Een kleine gelijkstroommotor heeft een ankerweerstand van 0,8 Ω en draait op 110 V. Bepaal het grootste mechanische vermogen Pmax dat hij bij enig toerental kan ontwikkelen, als je rotatieverliezen verwaarloost.
V = 110 VRa = 0,8 Ω
Pmax = W
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
Twee belastingen zijn parallel aangesloten op een eenfasige voeding van 230 V: een belasting van 29 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,8 en een verwarmingselement van 29 kW (arbeidsfactor 1). Vind de totale arbeidsfactor cos φ die de voeding ziet.
Een eenfasige belasting neemt 45 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,6 uit een voeding van 230 V, 60 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,95. Vind het blindvermogen QC dat de condensator moet leveren.
P = 45 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,95V = 230 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een symmetrische, in driehoek geschakelde belasting met een impedantie van 12 + j9 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 480 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.
VL = 480 VZ = 12 + j9 Ω per fase
P = kW
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 75 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,78 uit een net van 690 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,9 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in ster geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.
P = 75 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Oplossingen
1.DC-DC-omzetters
Antwoord: Imax = 0,1979 A
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 3/12 = 0,25
Gemiddelde stroom en rimpelstroom
Io = 3/20 = 0,15 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 9·0,25/(47·10⁻⁶·500·10³) = 0,09574 A
Piekstroom
Imax = 0,15 + 0,09574/2 = 0,1979 A
Antwoord
Imax = 0,1979 A
2.DC-DC-omzetters
Antwoord: C = 500 µF
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 7,5/15 = 0,5
Spoelrimpelstroom
ΔIL = (15 − 7,5)·0,5/(150·10⁻⁶·25·10³) = 1 A
Capaciteit
C = 1/(8·25·10³·10·10⁻³) = 500 µF
Antwoord
C = 500 µF
3.Gelijkstroommotoren
Antwoord: η = 88,96 %
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Vermogens
Pin = 120·4 = 480 W
Pdev = 116·4 = 464 W
Pout = 464 − 37 = 427 W
Rendement
η = 427/480·100 = 88,96 %
Antwoord
η = 88,96 %
4.Gelijkstroommotoren
Antwoord: Pmax = 3781 W
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Vermogen als functie van de tegen-EMK
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 55 V
Maximaal vermogen
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 110²/(4·0,8) = 3781 W
Antwoord
Pmax = 3781 W
Op dit punt is het rendement slechts 50 %, dus echte motoren draaien ruim boven het halve toerental.
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: cos φ = 0,9363
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen van elke belasting
Een inductieve belasting neemt blindvermogen op (Q > 0); een capacitieve belasting levert het (Q < 0).
Q1 = 29·tan(arccos 0,8) = 21,75 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar
Totalen
P = 29 + 29 = 58 kW
Q = 21,75 + 0 = 21,75 kvar
S = √(58² + 21,75²) = 61,94 kVA
Totale arbeidsfactor
cos φ = P/S = 58/61,94 = 0,9363 inductief
Antwoord
cos φ = 0,9363
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: QC = 45,21 kvar
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.
Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(53,13°) = 60 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(18,19°) = 14,79 kvar
QC = Q1 − Q2 = 45,21 kvar
Antwoord
QC = 45,21 kvar
7.Draaistroomvermogen
Antwoord: P = 36,86 kW
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Fasespanning
Vph = VL = 480 V
Fasestroom
|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
Iph = 480/15 = 32 A
Totaal werkelijk vermogen
Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.
P = 3·Iph²·R = 3·32²·12 = 36,86 kW
Antwoord
P = 36,86 kW
Controle: cos φ = R/|Z| = 0,8, en √3·VL·IL·cos φ geeft hetzelfde vermogen.
8.Draaistroomvermogen
Antwoord: Cph = 132,9 µF
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
Q1 = 75·tan(acos 0,78) = 75·0,8023 = 60,17 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,9) = 75·0,4843 = 36,32 kvar
Blindvermogen van de condensatoren
QC = Q1 − Q2 = 23,85 kvar
Capaciteit per fase
In een sterbank is elke condensator aangesloten tussen een lijn en het sterpunt.