Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.
Gelijkstroommotoren
Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc
Methode
Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
2Oefenopgaven
1.DC-DC-omzettersGemiddeld
Een ideale buck-omzetter zet 12 V om in 3,6 V bij 20 kHz met L = 330 µH. Bepaal de piek-piek-rimpelstroom ΔIL door de spoel.
Vin = 12 VVo = 3,6 Vf = 20 kHzL = 330 µH
ΔIL = A
2.DC-DC-omzettersMoeilijk
Een buck-omzetter zet 15 V om in 9 V voor een belasting van 8 Ω bij 20 kHz, met L = 100 µH en C = 100 µF. Bepaal de piek-piek-rimpel ΔVo van de uitgangsspanning in mV.
Een gelijkstroommotor (k = 0,12 V·s/rad, Ra = 0,5 Ω) draait op 24 V. Bij vollast neemt hij 2 A op. Bepaal zijn toerentalregeling SR = (n₀ − nFL)/nFL in procent, als je de nullaststroom verwaarloost.
V = 24 Vk = 0,12 V·s/radRa = 0,5 ΩIFL = 2 A
SR = %
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
Een gelijkstroommotor van 240 V heeft een ankerweerstand van 1,2 Ω. Bepaal de serie-aanloopweerstand Rst die de aanloopstroom beperkt tot 10 A.
V = 240 VRa = 1,2 ΩImax = 10 A
Rst = Ω
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
Een eenfasige motor neemt 2 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,7 uit een voeding van 240 V. Vind de lijnstroom I.
P = 2 kWpf = 0,7V = 240 V
I = A
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
Een eenfasige belasting neemt 8 kW op met een inductieve arbeidsfactor van 0,7 uit een voeding van 240 V, 50 Hz. Parallel aan de belasting wordt een condensator van 150 µF aangesloten. Vind de nieuwe arbeidsfactor cos φ die de voeding ziet.
P = 8 kWpf1 = 0,7V = 240 Vf = 50 HzC = 150 µF
cos φ =
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een symmetrische driefasige belasting neemt een lijnstroom van 30 A op uit een net met een lijnspanning van 480 V. De arbeidsfactor is 0,88 inductief. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.
VL = 480 VIL = 30 Acos φ = 0,88
P = kW
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 100 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een net van 400 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,92 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in ster geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.
P = 100 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,92VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Oplossingen
1.DC-DC-omzetters
Antwoord: ΔIL = 0,3818 A
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 3,6/12 = 0,3
Spoelspanning tijdens de aan-tijd
Zolang S aan staat, ligt de spoel tussen Vin en Vo.
VL = 12 − 3,6 = 8,4 V
Rimpelstroom
ΔIL = VL·D/(L·f) = 8,4·0,3/(330·10⁻⁶·20·10³) = 0,3818 A
Antwoord
ΔIL = 0,3818 A
2.DC-DC-omzetters
Antwoord: ΔVo = 112,5 mV
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 9/15 = 0,6
Spoelrimpelstroom
ΔIL = (15 − 9)·0,6/(100·10⁻⁶·20·10³) = 1,8 A
Uitgangsrimpel
ΔVo = 1,8/(8·20·10³·100·10⁻⁶) = 112,5 mV
Antwoord
ΔVo = 112,5 mV
3.Gelijkstroommotoren
Antwoord: SR = 4,348 %
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Toerental bij nullast en vollast
n₀ = 60·24/(2π·0,12) = 1910 rpm
nFL = 60·(24 − 2·0,5)/(2π·0,12) = 1830 rpm
Toerentalregeling
SR = (1910 − 1830)/1830·100 = 4,348 %
Antwoord
SR = 4,348 %
4.Gelijkstroommotoren
Antwoord: Rst = 22,8 Ω
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Totale weerstand
Ra + Rst = 240/10 = 24 Ω
Aanloopweerstand
Rst = 24 − 1,2 = 22,8 Ω
Antwoord
Rst = 22,8 Ω
De weerstand wordt stap voor stap uitgeschakeld naarmate de motor sneller draait en de tegen-EMK groeit.
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: I = 11,9 A
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Lijnstroom
Alleen het werkelijke deel van het vermogen doet werk, dus deel door de arbeidsfactor.
I = P/(V·cos φ) = 2000/(240·0,7) = 11,9 A
Antwoord
I = 11,9 A
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: cos φ = 0,8266
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.
Q1 = 8·tan(arccos 0,7) = 8,162 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·50·150·10⁻⁶ = 2714 var = 2,714 kvar
Q2 = 8,162 − 2,714 = 5,447 kvar
Nieuw schijnbaar vermogen
S2 = √(8² + 5,447²) = 9,678 kVA
Nieuwe arbeidsfactor
cos φ = P/S2 = 8/9,678 = 0,8266
Antwoord
cos φ = 0,8266
7.Draaistroomvermogen
Antwoord: P = 21,95 kW
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Schijnbaar vermogen
S = √3·VL·IL = √3·480·30 = 24,94 kVA
Werkelijk vermogen
P = S·cos φ = 24,94·0,88 = 21,95 kW
Antwoord
P = 21,95 kW
8.Draaistroomvermogen
Antwoord: Cph = 1478 µF
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
Q1 = 100·tan(acos 0,65) = 100·1,169 = 116,9 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,92) = 100·0,426 = 42,6 kvar
Blindvermogen van de condensatoren
QC = Q1 − Q2 = 74,31 kvar
Capaciteit per fase
In een sterbank is elke condensator aangesloten tussen een lijn en het sterpunt.