Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.
Gelijkstroommotoren
Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc
Methode
Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
2Oefenopgaven
1.DC-DC-omzettersGemiddeld
Een buck-omzetter zet 15 V om in 7,5 V voor een belasting van 25 Ω. Hij schakelt met 40 kHz met L = 330 µH. Bepaal de piekspoelstroom Imax.
Een buck-omzetter zet 12 V om in 9 V bij 25 kHz met L = 220 µH. Bepaal de kleinste belastingsstroom Io,min waarbij hij in continue geleiding blijft.
Vin = 12 VVo = 9 Vf = 25 kHzL = 220 µH
Io,min = A
3.GelijkstroommotorenGemiddeld
Een gelijkstroommotor neemt 12 A op uit een voeding van 120 V. Zijn ankerweerstand is 1 Ω en zijn rotatieverliezen (wrijving, luchtweerstand en ijzer) zijn 78 W. Bepaal zijn rendement η.
V = 120 VIa = 12 ARa = 1 ΩProt = 78 W
η = %
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
Een gelijkstroommotor van 220 V heeft een ankerweerstand van 1,2 Ω. Bepaal de serie-aanloopweerstand Rst die de aanloopstroom beperkt tot 30 A.
V = 220 VRa = 1,2 ΩImax = 30 A
Rst = Ω
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
Een inductieve belasting neemt 7 A en 1512 W op uit een eenfasige voeding van 240 V (rms). Modelleer haar als een weerstand R in serie met een reactantie X. Vind X.
V = 240 VI = 7 AP = 1512 W
X = Ω
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
Een bron van 230 V (rms), 60 Hz heeft een inwendige impedantie Zs = 50 + j5 Ω. De belastingsimpedantie ZL kan vrij worden gekozen. De belasting voor maximaal vermogen bestaat uit een weerstand in serie met een condensator. Vind de capaciteit C.
Vs = 230 V (rms)f = 60 HzZs = 50 + j5 Ω
C = µF
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een symmetrische, in driehoek geschakelde belasting met een impedantie van 6 + j8 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 400 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.
VL = 400 VZ = 6 + j8 Ω per fase
P = kW
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 60 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een net van 480 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,95 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. Vind het totale blindvermogen QC dat de condensatorbank moet leveren, in kvar.
P = 60 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,95VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3Oplossingen
1.DC-DC-omzetters
Antwoord: Imax = 0,442 A
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 7,5/15 = 0,5
Gemiddelde stroom en rimpelstroom
Io = 7,5/25 = 0,3 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 7,5·0,5/(330·10⁻⁶·40·10³) = 0,2841 A
Piekstroom
Imax = 0,3 + 0,2841/2 = 0,442 A
Antwoord
Imax = 0,442 A
2.DC-DC-omzetters
Antwoord: Io,min = 0,2045 A
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 9/12 = 0,75
Rimpelstroom
ΔIL = 9·0,25/(220·10⁻⁶·25·10³) = 0,4091 A
Belastingsstroom op de grens
Io,min = ΔIL/2 = 0,2045 A
Antwoord
Io,min = 0,2045 A
Onder deze stroom gaat de omzetter over op discontinue geleiding en stijgt Vo boven D·Vin.
3.Gelijkstroommotoren
Antwoord: η = 84,58 %
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Vermogens
Pin = 120·12 = 1440 W
Pdev = 108·12 = 1296 W
Pout = 1296 − 78 = 1218 W
Rendement
η = 1218/1440·100 = 84,58 %
Antwoord
η = 84,58 %
4.Gelijkstroommotoren
Antwoord: Rst = 6,133 Ω
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Totale weerstand
Ra + Rst = 220/30 = 7,333 Ω
Aanloopweerstand
Rst = 7,333 − 1,2 = 6,133 Ω
Antwoord
Rst = 6,133 Ω
De weerstand wordt stap voor stap uitgeschakeld naarmate de motor sneller draait en de tegen-EMK groeit.
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: X = 14,94 Ω
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Weerstand uit het werkelijk vermogen
R = P/I² = 1512/7² = 30,86 Ω
Reactantie uit de impedantie
|Z| = V/I = 240/7 = 34,29 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(34,29² − 30,86²) = 14,94 Ω
Antwoord
X = 14,94 Ω
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: C = 530,5 µF
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Complex geconjugeerde aanpassing
De reactantie van de belasting heft die van de bron op, en de belastingsweerstand is gelijk aan de bronweerstand.
ZL = Zs* = 50 − j5 Ω
Capaciteit
XC = 5 Ω → C = 1/(2π·60·5) = 530,5 µF
Antwoord
C = 530,5 µF
7.Draaistroomvermogen
Antwoord: P = 28,8 kW
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Fasespanning
Vph = VL = 400 V
Fasestroom
|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
Iph = 400/10 = 40 A
Totaal werkelijk vermogen
Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.
P = 3·Iph²·R = 3·40²·6 = 28,8 kW
Antwoord
P = 28,8 kW
Controle: cos φ = R/|Z| = 0,6, en √3·VL·IL·cos φ geeft hetzelfde vermogen.
8.Draaistroomvermogen
Antwoord: QC = 50,43 kvar
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.