Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.
Gelijkstroommotoren
Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc
Methode
Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
2Oefenopgaven
1.DC-DC-omzettersGemiddeld
Een ideale boost-omzetter zet 15 V om in 37,5 V voor een belasting van 10 Ω. Bepaal de gemiddelde spoelstroom IL.
Vin = 15 VVo = 37,5 VR = 10 Ω
IL = A
2.DC-DC-omzettersMoeilijk
Een ideale buck-omzetter zet 48 V om in 19,2 V voor een belasting van 50 Ω bij 200 kHz. Bepaal de kleinste zelfinductie Lcrit voor continue geleiding.
Vin = 48 VVo = 19,2 Vf = 200 kHzR = 50 Ω
Lcrit = µH
3.GelijkstroommotorenGemiddeld
Een gelijkstroommotor met k = 1 V·s/rad draait op 120 V. Bepaal zijn onbelaste toerental n0 in rpm, als je alle verliezen bij nullast verwaarloost.
V = 120 Vk = 1 V·s/rad
n0 = rpm
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
Een gelijkstroommotor met k = 1,5 V·s/rad en Ra = 1,2 Ω moet een last van 15 N·m aandrijven bij 300 rpm. Bepaal de ankerspanning V die hij nodig heeft.
k = 1,5 V·s/radRa = 1,2 ΩT = 15 N·mn = 300 rpm
V = V
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
Een inductieve belasting neemt 5 A en 540 W op uit een eenfasige voeding van 120 V (rms). Modelleer haar als een weerstand R in serie met een reactantie X. Vind R.
V = 120 VI = 5 AP = 540 W
R = Ω
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
Een eenfasige belasting neemt 15 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een voeding van 240 V, 50 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,92. Vind het blindvermogen QC dat de condensator moet leveren.
P = 15 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,92V = 240 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een symmetrische, in ster geschakelde belasting met een impedantie van 24 + j7 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 208 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.
VL = 208 VZ = 24 + j7 Ω per fase
P = kW
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 200 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een net van 415 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,98 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. Vind het totale blindvermogen QC dat de condensatorbank moet leveren, in kvar.
P = 200 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98VL = 415 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3Oplossingen
1.DC-DC-omzetters
Antwoord: IL = 9,375 A
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 1 − 15/37,5 = 0,6
Belastingsstroom
Io = 37,5/10 = 3,75 A
Spoelstroom
IL = Io/(1 − D) = 3,75/0,4 = 9,375 A
Antwoord
IL = 9,375 A
2.DC-DC-omzetters
Antwoord: Lcrit = 75 µH
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 19,2/48 = 0,4
Grensvoorwaarde
Stel de gemiddelde spoelstroom gelijk aan de helft van de rimpelstroom en los op voor L.
Lcrit = (1 − D)·R/(2f)
Kritieke zelfinductie
Lcrit = (1 − 0,4)·50/(2200·10³) = 75 µH
Antwoord
Lcrit = 75 µH
3.Gelijkstroommotoren
Antwoord: n0 = 1146 rpm
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Onbelast toerental
ω₀ = V/k = 120/1 = 120 rad/s
n0 = 60·120/(2π) = 1146 rpm
Antwoord
n0 = 1146 rpm
4.Gelijkstroommotoren
Antwoord: V = 59,12 V
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Tegen-EMK
E = 1,5·31,42 = 47,12 V
Ankerstroom
Ia = 15/1,5 = 10 A
Ankerspanning
V = 47,12 + 10·1,2 = 59,12 V
Antwoord
V = 59,12 V
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: R = 21,6 Ω
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Weerstand uit het werkelijk vermogen
R = P/I² = 540/5² = 21,6 Ω
Antwoord
R = 21,6 Ω
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: QC = 11,15 kvar
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.
Q1 = P·tan φ1 = 15·tan(49,46°) = 17,54 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 15·tan(23,07°) = 6,39 kvar
QC = Q1 − Q2 = 11,15 kvar
Antwoord
QC = 11,15 kvar
7.Draaistroomvermogen
Antwoord: P = 1,661 kW
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Fasespanning
Vph = 208/√3 = 120,1 V
Fasestroom
|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
Iph = 120,1/25 = 4,804 A
Totaal werkelijk vermogen
Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.
P = 3·Iph²·R = 3·4,804²·24 = 1,661 kW
Antwoord
P = 1,661 kW
Controle: cos φ = R/|Z| = 0,96, en √3·VL·IL·cos φ geeft hetzelfde vermogen.
8.Draaistroomvermogen
Antwoord: QC = 193,2 kvar
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.