Vermogenselektronica en aandrijvingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

DC-DC-omzetters

Buck: V_o = D·V_in
Boost: V_o = V_in/(1 − D)
Inverterende buck-boost: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Ideale vermogensbalans: V_inI_in = V_oI_o
Spoelrimpel: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Gemiddelde spoelstroom: buck I_o; boost en buck-boost I_o/(1 − D)
Uitgangsrimpel: buck ΔI_L/(8fC); boost en buck-boost I_o·D/(fC)
Grens van continue geleiding: buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Methode

Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔI_L/2.

Gelijkstroommotoren

Ankerketen: V = E + I_aR_a
Tegen-EMK en koppel: E = k·ω, T = k·I_a
Snelheid: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Vermogens: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Starten: I_start = V/(R_a + R_st)
Toerentalregeling: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Maximaal ontwikkeld vermogen: P_max = V²/(4R_a)
Chopperaandrijving: V_a = D·V_dc

Methode

Teken de ankerketen: voeding V, weerstand R_a en de tegen-EMK E in serie.
Gebruik V = E + I_a·R_a om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·I_a voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
Begin voor vermogen en rendement bij V·I_a, trek het koperverlies I_a²·R_a af en daarna de rotatieverliezen.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen: P = V·I·cos φ
Blindvermogen: Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen: S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor: pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Driehoekschakeling (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Totaal werkelijk vermogen: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spanning over elke condensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Opgenomen motorvermogen: P_in = P_out/η

2Oefenopgaven

1.DC-DC-omzettersGemiddeld

Een ideale inverterende buck-boost-omzetter zet 12 V om in −8 V bij 250 kHz met L = 100 µH. Bepaal de piek-piek-rimpelstroom ΔI_L door de spoel.

Vin = 12 VVo = −8 Vf = 250 kHzL = 100 µH

ΔI_L = A

2.DC-DC-omzettersMoeilijk

Een ideale buck-boost-omzetter zet 36 V om in −12 V voor een belasting van 10 Ω bij 500 kHz. De uitgangscondensator is 22 µF. Bepaal de piek-piek-rimpel ΔV_o van de uitgangsspanning in mV.

Vin = 36 VVo = −12 Vf = 500 kHzC = 22 µFR = 10 Ω

ΔV_o = mV

3.GelijkstroommotorenGemiddeld

Een gelijkstroommotor neemt 40 A op uit een voeding van 110 V. Zijn ankerweerstand is 0,2 Ω en zijn rotatieverliezen (wrijving, luchtweerstand en ijzer) zijn 245 W. Bepaal zijn rendement η.

V = 110 VI_a = 40 AR_a = 0,2 ΩP_rot = 245 W

η = %

4.GelijkstroommotorenMoeilijk

Een separaat bekrachtigde gelijkstroommotor (k = 1,2 V·s/rad bij vol veld, R_a = 1 Ω, V = 110 V) drijft een constant lastkoppel van 12 N·m aan. De veldflux wordt verlaagd tot 75 % van de volle waarde. Bepaal het nieuwe toerental n.

V = 110 Vk = 1,2 V·s/radR_a = 1 ΩT = 12 N·mΦ = 75 %

n = rpm

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld

Een inductieve belasting neemt 17 A en 1955 W op uit een eenfasige voeding van 230 V (rms). Modelleer haar als een weerstand R in serie met een reactantie X. Vind R.

V = 230 VI = 17 AP = 1955 W

R = Ω

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk

Een eenfasige belasting neemt 20 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,6 uit een voeding van 230 V, 60 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,95. Vind de benodigde capaciteit C.

P = 20 kWpf₁ = 0,6pf₂ = 0,95V = 230 Vf = 60 Hz

C = µF

7.DraaistroomvermogenGemiddeld

Een symmetrische, in ster geschakelde belasting met een impedantie van 5 + j12 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 480 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.

V_L = 480 VZ = 5 + j12 Ω per fase

P = kW

8.DraaistroomvermogenMoeilijk

Een symmetrische driefasige belasting neemt 120 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een net van 415 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,92 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in driehoek geschakeld. Vind de capaciteit C_ph van elke condensator in µF.

P = 120 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,92V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3Oplossingen

1.DC-DC-omzetters

Antwoord: ΔI_L = 0,192 A

DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck V_o = D·V_in, boost V_o = V_in/(1 − D), inverterende buck-boost |V_o| = V_in·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: V_in·I_in = V_o·I_o. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔI_L = V_L·D·T/L, met V_L = V_in − V_o voor de buck en V_in voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔV_o = ΔI_L/(8fC) voor de buck en I_o·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔI_L/2.

Duty cycle

D = 8/(12 + 8) = 0,4

Spoelspanning tijdens de aan-tijd

Zolang S aan staat, ligt de spoel direct over V_in.

V_L = 12 V

Rimpelstroom

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 12·0,4/(100·10⁻⁶·250·10³) = 0,192 A

Antwoord

ΔI_L = 0,192 A

2.DC-DC-omzetters

Antwoord: ΔV_o = 27,27 mV

Duty cycle

D = 12/(36 + 12) = 0,25

Belastingsstroom

I_o = 12/10 = 1,2 A

Uitgangsrimpel

ΔV_o = 1,2·0,25/(500·10³·22·10⁻⁶) = 27,27 mV

Antwoord

ΔV_o = 27,27 mV

3.Gelijkstroommotoren

Antwoord: η = 87,16 %

Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand R_a in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + I_a·R_a. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·I_a, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·I_a = T·ω; het ingangsvermogen is V·I_a, en het koperverlies I_a²R_a en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − R_a·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/R_a. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/R_a is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.

Vermogens

P_in = 110·40 = 4400 W

P_dev = 102·40 = 4080 W

P_out = 4080 − 245 = 3835 W

Rendement

η = 3835/4400·100 = 87,16 %

Antwoord

η = 87,16 %

4.Gelijkstroommotoren

Antwoord: n = 1026 rpm

Verzwakte motorconstante

k₂ = 0,75·1,2 = 0,9 V·s/rad

Nieuwe ankerstroom

I_a = 12/0,9 = 13,33 A

Nieuw toerental

ω = (110 − 13,33·1)/0,9 = 107,4 rad/s → n = 1026 rpm

Antwoord

n = 1026 rpm

Zo draait een gelijkstroomaandrijving boven zijn basistoerental: door veldverzwakking.

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: R = 6,765 Ω

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Weerstand uit het werkelijk vermogen

R = P/I² = 1955/17² = 6,765 Ω

Antwoord

R = 6,765 Ω

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: C = 1008 µF

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.

Q₁ = P·tan φ₁ = 20·tan(53,13°) = 26,67 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 20·tan(18,19°) = 6,574 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 20,09 kvar

Capaciteit

Een condensator over de voeding levert Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 20093/(2π·60·230²) = 1008 µF

Antwoord

C = 1008 µF

7.Draaistroomvermogen

Antwoord: P = 6,817 kW

Fasespanning

V_ph = 480/√3 = 277,1 V

Fasestroom

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω

I_ph = 277,1/13 = 21,32 A

Totaal werkelijk vermogen

Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.

P = 3·I_ph²·R = 3·21,32²·5 = 6,817 kW

Antwoord

P = 6,817 kW

Controle: cos φ = R/|Z| = 0,3846, en √3·V_L·I_L·cos φ geeft hetzelfde vermogen.

8.Draaistroomvermogen

Antwoord: C_ph = 549,4 µF

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, V_L = √3·V_ph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, I_L = √3·I_ph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Elk van de drie condensatoren levert Q_C/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: V_L in een driehoeksbank, V_L/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q₁ = 120·tan(acos 0,65) = 120·1,169 = 140,3 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0,92) = 120·0,426 = 51,12 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 89,18 kvar

Capaciteit per fase

In een driehoeksbank is elke condensator aangesloten tussen twee lijnen.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 29725/(314,2·415²) = 549,4 µF

Antwoord

C_ph = 549,4 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-electronics