Vermogenselektronica en aandrijvingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

DC-DC-omzetters

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Inverterende buck-boost
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Ideale vermogensbalans
VinIin = VoIo
Spoelrimpel
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Gemiddelde spoelstroom
buck Io; boost en buck-boost Io/(1 − D)
Uitgangsrimpel
buck ΔIL/(8fC); boost en buck-boost Io·D/(fC)
Grens van continue geleiding
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Methode

  1. Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
  2. Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
  3. Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.

Gelijkstroommotoren

Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc

Methode

  1. Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
  2. Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
  3. Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
  4. Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η

2Oefenopgaven

1.DC-DC-omzettersGemiddeld
+−12 VSL = ?CR+−9 V

Een ideale buck-omzetter zet 12 V om in 9 V bij een schakelfrequentie van 500 kHz. Bepaal de zelfinductie L die de piek-piek-rimpelstroom door de spoel op 0,8 A houdt.

Vin​ = 12 VVo​ = 9 Vf = 500 kHzΔIL = 0,8 A
L = µH
2.DC-DC-omzettersMoeilijk
tiL​Imax​Io​DTT2T

Een buck-omzetter zet 36 V om in 21,6 V bij 50 kHz met L = 10 µH. Bepaal de kleinste belastingsstroom Io,min waarbij hij in continue geleiding blijft.

Vin​ = 36 VVo​ = 21,6 Vf = 50 kHzL = 10 µH
Io,min = A
3.GelijkstroommotorenGemiddeld
+−220 VRa​ = 1,5 ΩIa​ = 5 AM+−EωT

Een gelijkstroommotor neemt 5 A op uit een voeding van 220 V. Zijn ankerweerstand is 1,5 Ω en zijn rotatieverliezen (wrijving, luchtweerstand en ijzer) zijn 64 W. Bepaal zijn rendement η.

V = 220 VIa = 5 ARa = 1,5 ΩProt = 64 W
η = %
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
+−24 VRa​ = 0,25 ΩM+−En = ?T = 0,32 N·m

Een separaat bekrachtigde gelijkstroommotor (k = 0,08 V·s/rad bij vol veld, Ra = 0,25 Ω, V = 24 V) drijft een constant lastkoppel van 0,32 N·m aan. De veldflux wordt verlaagd tot 70 % van de volle waarde. Bepaal het nieuwe toerental n.

V = 24 Vk = 0,08 V·s/radRa = 0,25 ΩT = 0,32 N·mΦ = 70 %
n = rpm
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
230 V127 kW, 0,726 kW, 0,9I = ?

Twee belastingen zijn parallel aangesloten op een eenfasige voeding van 230 V: een belasting van 27 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,7 en een belasting van 6 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,9. Vind de totale stroom I die uit de voeding wordt opgenomen.

V = 230 VP1 = 27 kW, pf1 = 0,7 inductiefP2 = 6 kW, pf2 = 0,9 inductief
I = A
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
P1​ = 60 kWQ1​S1​φ

Een eenfasige transformator van 200 kVA voedt een belasting van 60 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,6. Hoeveel extra werkelijk vermogen ΔP kan er als resistieve belasting (arbeidsfactor 1) worden bijgeplaatst voordat de transformator zijn nominale kVA bereikt?

Smax = 200 kVAP1 = 60 kWpf1 = 0,6
ΔP = kW
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
ABCVL​ = 400 VZ = 12 + j5 Ωper fase

Een symmetrische, in driehoek geschakelde belasting met een impedantie van 12 + j5 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 400 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.

VL = 400 VZ = 12 + j5 Ω per fase
P = kW
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​

Een symmetrische driefasige belasting neemt 100 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,7 uit een net van 415 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,92 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in driehoek geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.

P = 100 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,92VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF

3Oplossingen

1.DC-DC-omzetters

Antwoord: L = 5,625 µH

DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.

Duty cycle

D = 9/12 = 0,75

Zelfinductie

L = 3·0,75/(0,8·500·10³) = 5,625 µH

Antwoord

L = 5,625 µH
2.DC-DC-omzetters

Antwoord: Io,min = 8,64 A

DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.

Duty cycle

D = 21,6/36 = 0,6

Rimpelstroom

ΔIL = 21,6·0,4/(10·10⁻⁶·50·10³) = 17,28 A

Belastingsstroom op de grens

Io,min = ΔIL/2 = 8,64 A

Antwoord

Io,min = 8,64 A

Onder deze stroom gaat de omzetter over op discontinue geleiding en stijgt Vo boven D·Vin.

3.Gelijkstroommotoren

Antwoord: η = 90,77 %

Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.

Vermogens

Pin = 220·5 = 1100 W
Pdev = 212,5·5 = 1063 W
Pout = 1063 − 64 = 998,5 W

Rendement

η = 998,5/1100·100 = 90,77 %

Antwoord

η = 90,77 %
4.Gelijkstroommotoren

Antwoord: n = 3849 rpm

Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.

Verzwakte motorconstante

k₂ = 0,7·0,08 = 0,056 V·s/rad

Nieuwe ankerstroom

Ia = 0,32/0,056 = 5,714 A

Nieuw toerental

ω = (24 − 5,714·0,25)/0,056 = 403,1 rad/s → n = 3849 rpm

Antwoord

n = 3849 rpm

Zo draait een gelijkstroomaandrijving boven zijn basistoerental: door veldverzwakking.

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: I = 195,2 A

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Blindvermogen van elke belasting

Een inductieve belasting neemt blindvermogen op (Q > 0); een capacitieve belasting levert het (Q < 0).

Q1 = 27·tan(arccos 0,7) = 27,55 kvar
Q2 = 6·tan(arccos 0,9) = 2,906 kvar

Totalen

P = 27 + 6 = 33 kW
Q = 27,55 + 2,906 = 30,45 kvar
S = √(33² + 30,45²) = 44,9 kVA

Totale stroom

I = S/V = 44903/230 = 195,2 A

Antwoord

I = 195,2 A
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: ΔP = 123,3 kW

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Blindvermogen van de bestaande belasting

Q1 = 60·tan(arccos 0,6) = 80 kvar

Grootste totale werkelijk vermogen

Bij volle belasting is S = Smax, en Q verandert niet door de resistieve belasting.

P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 80²) = 183,3 kW

Extra werkelijk vermogen

ΔP = 183,3 − 60 = 123,3 kW

Antwoord

ΔP = 123,3 kW
7.Draaistroomvermogen

Antwoord: P = 34,08 kW

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Fasespanning

Vph = VL = 400 V

Fasestroom

|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω
Iph = 400/13 = 30,77 A

Totaal werkelijk vermogen

Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.

P = 3·Iph²·R = 3·30,77²·12 = 34,08 kW

Antwoord

P = 34,08 kW

Controle: cos φ = R/|Z| = 0,9231, en √3·VL·IL·cos φ geeft hetzelfde vermogen.

8.Draaistroomvermogen

Antwoord: Cph = 366,1 µF

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q1 = 100·tan(acos 0,7) = 100·1,02 = 102 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,92) = 100·0,426 = 42,6 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

QC = Q1 − Q2 = 59,42 kvar

Capaciteit per fase

In een driehoeksbank is elke condensator aangesloten tussen twee lijnen.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 19807/(314,2·415²) = 366,1 µF

Antwoord

Cph = 366,1 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-electronics