Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.
Gelijkstroommotoren
Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc
Methode
Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
2Oefenopgaven
1.DC-DC-omzettersGemiddeld
Een ideale inverterende buck-boost-omzetter zet 9 V om in −21 V bij 500 kHz met L = 22 µH. Bepaal de piek-piek-rimpelstroom ΔIL door de spoel.
Vin = 9 VVo = −21 Vf = 500 kHzL = 22 µH
ΔIL = A
2.DC-DC-omzettersMoeilijk
Een buck-omzetter zet 36 V om in 14,4 V voor een belasting van 5 Ω bij 50 kHz, met L = 220 µH en C = 10 µF. Bepaal de piek-piek-rimpel ΔVo van de uitgangsspanning in mV.
Een gelijkstroommotor met k = 0,5 V·s/rad draait op 120 V. Bepaal zijn onbelaste toerental n0 in rpm, als je alle verliezen bij nullast verwaarloost.
V = 120 Vk = 0,5 V·s/rad
n0 = rpm
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
Een kleine gelijkstroommotor heeft een ankerweerstand van 2 Ω en draait op 24 V. Bepaal het grootste mechanische vermogen Pmax dat hij bij enig toerental kan ontwikkelen, als je rotatieverliezen verwaarloost.
V = 24 VRa = 2 Ω
Pmax = W
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
Een inductieve belasting neemt 14 A en 2737 W op uit een eenfasige voeding van 230 V (rms). Modelleer haar als een weerstand R in serie met een reactantie X. Vind R.
V = 230 VI = 14 AP = 2737 W
R = Ω
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
Een eenfasige belasting neemt 5 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,75 uit een voeding van 400 V, 60 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,9. Vind de nieuwe lijnstroom Inew.
P = 5 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,9V = 400 Vf = 60 Hz
Inew = A
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een symmetrische driefasige belasting neemt een lijnstroom van 100 A op uit een net met een lijnspanning van 400 V. De arbeidsfactor is 0,7 inductief. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.
VL = 400 VIL = 100 Acos φ = 0,7
P = kW
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 60 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,72 uit een net van 480 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,98 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. Vind het totale blindvermogen QC dat de condensatorbank moet leveren, in kvar.
P = 60 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,98VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3Oplossingen
1.DC-DC-omzetters
Antwoord: ΔIL = 0,5727 A
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 21/(9 + 21) = 0,7
Spoelspanning tijdens de aan-tijd
Zolang S aan staat, ligt de spoel direct over Vin.
VL = 9 V
Rimpelstroom
ΔIL = VL·D/(L·f) = 9·0,7/(22·10⁻⁶·500·10³) = 0,5727 A
Antwoord
ΔIL = 0,5727 A
2.DC-DC-omzetters
Antwoord: ΔVo = 196,4 mV
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 14,4/36 = 0,4
Spoelrimpelstroom
ΔIL = (36 − 14,4)·0,4/(220·10⁻⁶·50·10³) = 0,7855 A
Uitgangsrimpel
ΔVo = 0,7855/(8·50·10³·10·10⁻⁶) = 196,4 mV
Antwoord
ΔVo = 196,4 mV
3.Gelijkstroommotoren
Antwoord: n0 = 2292 rpm
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Onbelast toerental
ω₀ = V/k = 120/0,5 = 240 rad/s
n0 = 60·240/(2π) = 2292 rpm
Antwoord
n0 = 2292 rpm
4.Gelijkstroommotoren
Antwoord: Pmax = 72 W
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Vermogen als functie van de tegen-EMK
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V
Maximaal vermogen
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 24²/(4·2) = 72 W
Antwoord
Pmax = 72 W
Op dit punt is het rendement slechts 50 %, dus echte motoren draaien ruim boven het halve toerental.
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: R = 13,96 Ω
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Weerstand uit het werkelijk vermogen
R = P/I² = 2737/14² = 13,96 Ω
Antwoord
R = 13,96 Ω
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: Inew = 13,89 A
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.
Q1 = P·tan φ1 = 5·tan(41,41°) = 4,41 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 5·tan(25,84°) = 2,422 kvar
QC = Q1 − Q2 = 1,988 kvar
Nieuwe lijnstroom
Inew = P/(V·cos φ2) = 5000/(400·0,9) = 13,89 A
Antwoord
Inew = 13,89 A
7.Draaistroomvermogen
Antwoord: P = 48,5 kW
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Schijnbaar vermogen
S = √3·VL·IL = √3·400·100 = 69,28 kVA
Werkelijk vermogen
P = S·cos φ = 69,28·0,7 = 48,5 kW
Antwoord
P = 48,5 kW
8.Draaistroomvermogen
Antwoord: QC = 45,65 kvar
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.