Vermogenselektronica en aandrijvingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

DC-DC-omzetters

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Inverterende buck-boost
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Ideale vermogensbalans
VinIin = VoIo
Spoelrimpel
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Gemiddelde spoelstroom
buck Io; boost en buck-boost Io/(1 − D)
Uitgangsrimpel
buck ΔIL/(8fC); boost en buck-boost Io·D/(fC)
Grens van continue geleiding
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Methode

  1. Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
  2. Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
  3. Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.

Gelijkstroommotoren

Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc

Methode

  1. Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
  2. Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
  3. Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
  4. Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η

2Oefenopgaven

1.DC-DC-omzettersGemiddeld
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

Een ideale inverterende buck-boost-omzetter zet 36 V om in −12 V bij 250 kHz met L = 220 µH. Bepaal de piek-piek-rimpelstroom ΔIL door de spoel.

Vin​ = 36 VVo​ = −12 Vf = 250 kHzL = 220 µH
ΔIL = A
2.DC-DC-omzettersMoeilijk
tvo​Vo​ΔV = ?DTT2T

Een buck-omzetter zet 9 V om in 2,7 V voor een belasting van 50 Ω bij 500 kHz, met L = 47 µH en C = 220 µF. Bepaal de piek-piek-rimpel ΔVo van de uitgangsspanning in mV.

Vin​ = 9 VVo​ = 2,7 Vf = 500 kHzL = 47 µHC = 220 µF
ΔVo = mV
3.GelijkstroommotorenGemiddeld
T (N·m)n (rpm)Tst​ = ?n0​

Een gelijkstroommotor met k = 1 N·m/A en Ra = 0,4 Ω is aangesloten op 110 V. Bepaal zijn blokkeerkoppel Tstall, het koppel bij toerental nul.

V = 110 Vk = 1 N·m/ARa = 0,4 Ω
Tstall = N·m
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
+−120 VRa​ = 0,2 ΩM+−En = ?T = 30 N·m

Een separaat bekrachtigde gelijkstroommotor (k = 1,5 V·s/rad bij vol veld, Ra = 0,2 Ω, V = 120 V) drijft een constant lastkoppel van 30 N·m aan. De veldflux wordt verlaagd tot 80 % van de volle waarde. Bepaal het nieuwe toerental n.

V = 120 Vk = 1,5 V·s/radRa = 0,2 ΩT = 30 N·mΦ = 80 %
n = rpm
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
P = 35 kWQSφ

Een eenfasige motor neemt 35 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een voeding van 400 V. Vind de lijnstroom I.

P = 35 kWpf = 0,8V = 400 V
I = A
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
P = 35 kWQ1​S1​φ1​QC​

Een eenfasige belasting neemt 35 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een voeding van 230 V, 50 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,98. Vind het blindvermogen QC dat de condensator moet leveren.

P = 35 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98V = 230 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
ABCVL​ = 690 VIL​ = 100 Acos φ = 0,85inductief

Een symmetrische driefasige belasting neemt een lijnstroom van 100 A op uit een net met een lijnspanning van 690 V. De arbeidsfactor is 0,85 inductief. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.

VL = 690 VIL = 100 Acos φ = 0,85
P = kW
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
P = 150 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Een symmetrische driefasige belasting neemt 150 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,72 uit een net van 415 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,98 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. Vind het totale blindvermogen QC dat de condensatorbank moet leveren, in kvar.

P = 150 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,98VL = 415 Vf = 60 Hz
QC = kvar

3Oplossingen

1.DC-DC-omzetters

Antwoord: ΔIL = 0,1636 A

DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.

Duty cycle

D = 12/(36 + 12) = 0,25

Spoelspanning tijdens de aan-tijd

Zolang S aan staat, ligt de spoel direct over Vin.

VL = 36 V

Rimpelstroom

ΔIL = VL·D/(L·f) = 36·0,25/(220·10⁻⁶·250·10³) = 0,1636 A

Antwoord

ΔIL = 0,1636 A
2.DC-DC-omzetters

Antwoord: ΔVo = 0,09139 mV

DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.

Duty cycle

D = 2,7/9 = 0,3

Spoelrimpelstroom

ΔIL = (9 − 2,7)·0,3/(47·10⁻⁶·500·10³) = 0,08043 A

Uitgangsrimpel

ΔVo = 0,08043/(8·500·10³·220·10⁻⁶) = 0,09139 mV

Antwoord

ΔVo = 0,09139 mV
3.Gelijkstroommotoren

Antwoord: Tstall = 275 N·m

Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.

Blokkeerstroom

Ia = V/Ra = 110/0,4 = 275 A

Blokkeerkoppel

Tstall = 1·275 = 275 N·m

Antwoord

Tstall = 275 N·m
4.Gelijkstroommotoren

Antwoord: n = 915,1 rpm

Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.

Verzwakte motorconstante

k₂ = 0,8·1,5 = 1,2 V·s/rad

Nieuwe ankerstroom

Ia = 30/1,2 = 25 A

Nieuw toerental

ω = (120 − 25·0,2)/1,2 = 95,83 rad/s → n = 915,1 rpm

Antwoord

n = 915,1 rpm

Zo draait een gelijkstroomaandrijving boven zijn basistoerental: door veldverzwakking.

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: I = 109,4 A

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Lijnstroom

Alleen het werkelijke deel van het vermogen doet werk, dus deel door de arbeidsfactor.

I = P/(V·cos φ) = 35000/(400·0,8) = 109,4 A

Antwoord

I = 109,4 A
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: QC = 33,81 kvar

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.

Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(49,46°) = 40,92 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(11,48°) = 7,107 kvar
QC = Q1 − Q2 = 33,81 kvar

Antwoord

QC = 33,81 kvar
7.Draaistroomvermogen

Antwoord: P = 101,6 kW

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Schijnbaar vermogen

S = √3·VL·IL = √3·690·100 = 119,5 kVA

Werkelijk vermogen

P = S·cos φ = 119,5·0,85 = 101,6 kW

Antwoord

P = 101,6 kW
8.Draaistroomvermogen

Antwoord: QC = 114,1 kvar

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q1 = 150·tan(acos 0,72) = 150·0,9639 = 144,6 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0,98) = 150·0,2031 = 30,46 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

QC = Q1 − Q2 = 114,1 kvar

Antwoord

QC = 114,1 kvar

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-electronics