Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.
Gelijkstroommotoren
Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc
Methode
Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
2Oefenopgaven
1.DC-DC-omzettersGemiddeld
Een ideale inverterende buck-boost-omzetter zet 9 V om in −21 V bij 50 kHz met L = 47 µH. Bepaal de piek-piek-rimpelstroom ΔIL door de spoel.
Vin = 9 VVo = −21 Vf = 50 kHzL = 47 µH
ΔIL = A
2.DC-DC-omzettersMoeilijk
Een buck-omzetter zet 12 V om in 3 V bij 50 kHz met L = 150 µH. Bepaal de uitgangscapaciteit C die de piek-piek-rimpel van de uitgangsspanning beperkt tot 5 mV.
Een gelijkstroommotor (k = 0,3 V·s/rad, Ra = 0,8 Ω) draait op 110 V. Bij vollast neemt hij 8 A op. Bepaal zijn toerentalregeling SR = (n₀ − nFL)/nFL in procent, als je de nullaststroom verwaarloost.
V = 110 Vk = 0,3 V·s/radRa = 0,8 ΩIFL = 8 A
SR = %
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
Een gelijkstroommotor (k = 0,3 V·s/rad, Ra = 2 Ω) op een vaste voeding van 120 V drijft een last van 1,5 N·m aan. Bepaal de serieweerstand Rs die hem vertraagt tot 400 rpm.
Twee belastingen zijn parallel aangesloten op een eenfasige voeding van 230 V: een belasting van 22 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,8 en een belasting van 9 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,7. Vind de totale stroom I die uit de voeding wordt opgenomen.
Een eenfasige transformator van 15 kVA voedt een belasting van 4 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,6. Hoeveel extra werkelijk vermogen ΔP kan er als resistieve belasting (arbeidsfactor 1) worden bijgeplaatst voordat de transformator zijn nominale kVA bereikt?
Smax = 15 kVAP1 = 4 kWpf1 = 0,6
ΔP = kW
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een driefasige inductiemotor levert bij vollast 45 kW mechanisch vermogen. Bij deze belasting is het rendement 91% en de arbeidsfactor 0,85 inductief. Het net heeft een lijnspanning van 400 V. Vind de lijnstroom IL.
Pout = 45 kWη = 91%cos φ = 0,85VL = 400 V
IL = A
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 80 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een net van 415 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,92 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in driehoek geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.
P = 80 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,92VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Oplossingen
1.DC-DC-omzetters
Antwoord: ΔIL = 2,681 A
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 21/(9 + 21) = 0,7
Spoelspanning tijdens de aan-tijd
Zolang S aan staat, ligt de spoel direct over Vin.
VL = 9 V
Rimpelstroom
ΔIL = VL·D/(L·f) = 9·0,7/(47·10⁻⁶·50·10³) = 2,681 A
Antwoord
ΔIL = 2,681 A
2.DC-DC-omzetters
Antwoord: C = 150 µF
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 3/12 = 0,25
Spoelrimpelstroom
ΔIL = (12 − 3)·0,25/(150·10⁻⁶·50·10³) = 0,3 A
Capaciteit
C = 0,3/(8·50·10³·5·10⁻³) = 150 µF
Antwoord
C = 150 µF
3.Gelijkstroommotoren
Antwoord: SR = 6,178 %
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Toerental bij nullast en vollast
n₀ = 60·110/(2π·0,3) = 3501 rpm
nFL = 60·(110 − 8·0,8)/(2π·0,3) = 3298 rpm
Toerentalregeling
SR = (3501 − 3298)/3298·100 = 6,178 %
Antwoord
SR = 6,178 %
4.Gelijkstroommotoren
Antwoord: Rs = 19,49 Ω
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Stroom en tegen-EMK
Ia = 1,5/0,3 = 5 A
E = 0,3·41,89 = 12,57 V
Serieweerstand
Ra + Rs = (120 − 12,57)/5 = 21,49 Ω
Rs = 19,49 Ω
Antwoord
Rs = 19,49 Ω
De weerstand verspilt 487,2 W; een chopper regelt het toerental met veel minder verlies.
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: I = 175 A
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen van elke belasting
Een inductieve belasting neemt blindvermogen op (Q > 0); een capacitieve belasting levert het (Q < 0).
Q1 = 22·tan(arccos 0,8) = 16,5 kvar
Q2 = 9·tan(arccos 0,7) = 9,182 kvar
Totalen
P = 22 + 9 = 31 kW
Q = 16,5 + 9,182 = 25,68 kvar
S = √(31² + 25,68²) = 40,26 kVA
Totale stroom
I = S/V = 40256/230 = 175 A
Antwoord
I = 175 A
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: ΔP = 10,02 kW
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen van de bestaande belasting
Q1 = 4·tan(arccos 0,6) = 5,333 kvar
Grootste totale werkelijk vermogen
Bij volle belasting is S = Smax, en Q verandert niet door de resistieve belasting.
P = √(Smax² − Q1²) = √(15² − 5,333²) = 14,02 kW
Extra werkelijk vermogen
ΔP = 14,02 − 4 = 10,02 kW
Antwoord
ΔP = 10,02 kW
7.Draaistroomvermogen
Antwoord: IL = 83,97 A
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Opgenomen elektrisch vermogen
Pin = Pout/η = 45/0,91 = 49,45 kW
Lijnstroom
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 49451/(√3·400·0,85) = 83,97 A
Antwoord
IL = 83,97 A
8.Draaistroomvermogen
Antwoord: Cph = 305,2 µF
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
Q1 = 80·tan(acos 0,65) = 80·1,169 = 93,53 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0,92) = 80·0,426 = 34,08 kvar
Blindvermogen van de condensatoren
QC = Q1 − Q2 = 59,45 kvar
Capaciteit per fase
In een driehoeksbank is elke condensator aangesloten tussen twee lijnen.