Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.
Gelijkstroommotoren
Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc
Methode
Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
2Oefenopgaven
1.DC-DC-omzettersGemiddeld
Een ideale inverterende buck-boost-omzetter zet 12 V om in −36 V bij 25 kHz met L = 330 µH. Bepaal de piek-piek-rimpelstroom ΔIL door de spoel.
Vin = 12 VVo = −36 Vf = 25 kHzL = 330 µH
ΔIL = A
2.DC-DC-omzettersMoeilijk
Een ideale inverterende buck-boost-omzetter zet 9 V om in −6 V voor een belasting van 12 Ω bij 40 kHz. Bepaal de kleinste zelfinductie Lcrit voor continue geleiding.
Vin = 9 VVo = −6 Vf = 40 kHzR = 12 Ω
Lcrit = µH
3.GelijkstroommotorenGemiddeld
Een gelijkstroommotor (k = 0,5 N·m/A, Ra = 1,5 Ω) draait op 110 V en drijft een lastkoppel van 2,5 N·m aan. Bepaal zijn toerental n in rpm.
V = 110 Vk = 0,5 N·m/ARa = 1,5 ΩT = 2,5 N·m
n = rpm
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
Een separaat bekrachtigde gelijkstroommotor op 220 V (Ra = 0,25 Ω) draait met 1200 rpm bij een ankerstroom van 50 A. De belasting verandert en de stroom wordt 75 A, terwijl het veld gelijk blijft. Bepaal het nieuwe toerental n2.
V = 220 VRa = 0,25 Ωn1 = 1200 rpmIa1 = 50 AIa2 = 75 A
n2 = rpm
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
Een eenfasige motor neemt 24 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een voeding van 230 V. Vind het blindvermogen Q dat hij opneemt.
P = 24 kWpf = 0,65V = 230 V
Q = kvar
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
Een eenfasige belasting neemt 19 kW op met een inductieve arbeidsfactor van 0,75 uit een voeding van 230 V, 60 Hz. Parallel aan de belasting wordt een condensator van 150 µF aangesloten. Vind de nieuwe arbeidsfactor cos φ die de voeding ziet.
P = 19 kWpf1 = 0,75V = 230 Vf = 60 HzC = 150 µF
cos φ =
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een symmetrische, in driehoek geschakelde belasting met een impedantie van 6 + j8 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 400 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.
VL = 400 VZ = 6 + j8 Ω per fase
P = kW
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 50 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een net van 480 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,92 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in ster geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.
P = 50 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Oplossingen
1.DC-DC-omzetters
Antwoord: ΔIL = 1,091 A
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 36/(12 + 36) = 0,75
Spoelspanning tijdens de aan-tijd
Zolang S aan staat, ligt de spoel direct over Vin.
VL = 12 V
Rimpelstroom
ΔIL = VL·D/(L·f) = 12·0,75/(330·10⁻⁶·25·10³) = 1,091 A
Antwoord
ΔIL = 1,091 A
2.DC-DC-omzetters
Antwoord: Lcrit = 54 µH
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 6/(9 + 6) = 0,4
Grensvoorwaarde
Stel de gemiddelde spoelstroom gelijk aan de helft van de rimpelstroom en los op voor L.
Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)
Kritieke zelfinductie
Lcrit = (1 − 0,4)²·12/(240·10³) = 54 µH
Antwoord
Lcrit = 54 µH
3.Gelijkstroommotoren
Antwoord: n = 1958 rpm
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Ankerstroom
Ia = T/k = 2,5/0,5 = 5 A
Tegen-EMK en toerental
E = 110 − 5·1,5 = 102,5 V
ω = E/k = 205 rad/s → n = 1958 rpm
Antwoord
n = 1958 rpm
4.Gelijkstroommotoren
Antwoord: n2 = 1164 rpm
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Tegen-EMK ervoor en erna
E1 = 220 − 50·0,25 = 207,5 V
E2 = 220 − 75·0,25 = 201,3 V
Nieuw toerental
n2 = 1200·201,3/207,5 = 1164 rpm
Antwoord
n2 = 1164 rpm
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: Q = 28,06 kvar
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Hoek
φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169
Blindvermogen
Q = P·tan φ = 24·1,169 = 28,06 kvar
Antwoord
Q = 28,06 kvar
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: cos φ = 0,8098
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.
Q1 = 19·tan(arccos 0,75) = 16,76 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·60·150·10⁻⁶ = 2991 var = 2,991 kvar
Q2 = 16,76 − 2,991 = 13,77 kvar
Nieuw schijnbaar vermogen
S2 = √(19² + 13,77²) = 23,46 kVA
Nieuwe arbeidsfactor
cos φ = P/S2 = 19/23,46 = 0,8098
Antwoord
cos φ = 0,8098
7.Draaistroomvermogen
Antwoord: P = 28,8 kW
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Fasespanning
Vph = VL = 400 V
Fasestroom
|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
Iph = 400/10 = 40 A
Totaal werkelijk vermogen
Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.
P = 3·Iph²·R = 3·40²·6 = 28,8 kW
Antwoord
P = 28,8 kW
Controle: cos φ = R/|Z| = 0,6, en √3·VL·IL·cos φ geeft hetzelfde vermogen.
8.Draaistroomvermogen
Antwoord: Cph = 223,8 µF
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
Q1 = 50·tan(acos 0,8) = 50·0,75 = 37,5 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,92) = 50·0,426 = 21,3 kvar
Blindvermogen van de condensatoren
QC = Q1 − Q2 = 16,2 kvar
Capaciteit per fase
In een sterbank is elke condensator aangesloten tussen een lijn en het sterpunt.