Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.
Gelijkstroommotoren
Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc
Methode
Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
2Oefenopgaven
1.DC-DC-omzettersGemiddeld
Een ideale boost-omzetter zet 15 V om in 60 V bij 100 kHz met L = 330 µH. Bepaal de piek-piek-rimpelstroom ΔIL door de spoel.
Vin = 15 VVo = 60 Vf = 100 kHzL = 330 µH
ΔIL = A
2.DC-DC-omzettersMoeilijk
Een ideale boost-omzetter zet 48 V om in 64 V voor een belasting van 4 Ω bij 50 kHz. De uitgangscondensator is 100 µF. Bepaal de piek-piek-rimpel ΔVo van de uitgangsspanning in mV.
Vin = 48 VVo = 64 Vf = 50 kHzC = 100 µFR = 4 Ω
ΔVo = mV
3.GelijkstroommotorenGemiddeld
Een gelijkstroommotor met k = 1,2 V·s/rad draait op 120 V. Bepaal zijn onbelaste toerental n0 in rpm, als je alle verliezen bij nullast verwaarloost.
V = 120 Vk = 1,2 V·s/rad
n0 = rpm
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
Een gelijkstroommotor (k = 0,3 V·s/rad, Ra = 1 Ω) op een vaste voeding van 24 V drijft een last van 0,6 N·m aan. Bepaal de serieweerstand Rs die hem vertraagt tot 600 rpm.
Een inductieve belasting neemt 19 A en 2052 W op uit een eenfasige voeding van 120 V (rms). Modelleer haar als een weerstand R in serie met een reactantie X. Vind X.
V = 120 VI = 19 AP = 2052 W
X = Ω
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
Een eenfasige belasting neemt 24 kW op met een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een voeding van 240 V, 60 Hz. Parallel aan de belasting wordt een condensator van 330 µF aangesloten. Vind de nieuwe lijnstroom I.
P = 24 kWpf1 = 0,8V = 240 Vf = 60 HzC = 330 µF
I = A
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een driefasige inductiemotor levert bij vollast 7,5 kW mechanisch vermogen. Bij deze belasting is het rendement 94% en de arbeidsfactor 0,9 inductief. Het net heeft een lijnspanning van 400 V. Vind de lijnstroom IL.
Pout = 7,5 kWη = 94%cos φ = 0,9VL = 400 V
IL = A
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 200 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,7 uit een net van 400 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,9 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in ster geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.
P = 200 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,9VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Oplossingen
1.DC-DC-omzetters
Antwoord: ΔIL = 0,3409 A
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 1 − 15/60 = 0,75
Spoelspanning tijdens de aan-tijd
Zolang S aan staat, ligt de spoel direct over Vin.
VL = 15 V
Rimpelstroom
ΔIL = VL·D/(L·f) = 15·0,75/(330·10⁻⁶·100·10³) = 0,3409 A
Antwoord
ΔIL = 0,3409 A
2.DC-DC-omzetters
Antwoord: ΔVo = 800 mV
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 1 − 48/64 = 0,25
Belastingsstroom
Io = 64/4 = 16 A
Uitgangsrimpel
ΔVo = 16·0,25/(50·10³·100·10⁻⁶) = 800 mV
Antwoord
ΔVo = 800 mV
3.Gelijkstroommotoren
Antwoord: n0 = 954,9 rpm
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Onbelast toerental
ω₀ = V/k = 120/1,2 = 100 rad/s
n0 = 60·100/(2π) = 954,9 rpm
Antwoord
n0 = 954,9 rpm
4.Gelijkstroommotoren
Antwoord: Rs = 1,575 Ω
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Stroom en tegen-EMK
Ia = 0,6/0,3 = 2 A
E = 0,3·62,83 = 18,85 V
Serieweerstand
Ra + Rs = (24 − 18,85)/2 = 2,575 Ω
Rs = 1,575 Ω
Antwoord
Rs = 1,575 Ω
De weerstand verspilt 6,301 W; een chopper regelt het toerental met veel minder verlies.
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: X = 2,753 Ω
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Weerstand uit het werkelijk vermogen
R = P/I² = 2052/19² = 5,684 Ω
Reactantie uit de impedantie
|Z| = V/I = 120/19 = 6,316 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(6,316² − 5,684²) = 2,753 Ω
Antwoord
X = 2,753 Ω
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: I = 109,7 A
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.
Q1 = 24·tan(arccos 0,8) = 18 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·60·330·10⁻⁶ = 7166 var = 7,166 kvar
Q2 = 18 − 7,166 = 10,83 kvar
Nieuw schijnbaar vermogen
S2 = √(24² + 10,83²) = 26,33 kVA
Nieuwe lijnstroom
I = S2/V = 26332/240 = 109,7 A
Antwoord
I = 109,7 A
7.Draaistroomvermogen
Antwoord: IL = 12,8 A
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Opgenomen elektrisch vermogen
Pin = Pout/η = 7,5/0,94 = 7,979 kW
Lijnstroom
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 7979/(√3·400·0,9) = 12,8 A
Antwoord
IL = 12,8 A
8.Draaistroomvermogen
Antwoord: Cph = 1777 µF
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
Q1 = 200·tan(acos 0,7) = 200·1,02 = 204 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,9) = 200·0,4843 = 96,86 kvar
Blindvermogen van de condensatoren
QC = Q1 − Q2 = 107,2 kvar
Capaciteit per fase
In een sterbank is elke condensator aangesloten tussen een lijn en het sterpunt.