Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.
Gelijkstroommotoren
Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc
Methode
Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
2Oefenopgaven
1.DC-DC-omzettersGemiddeld
Een ideale boost-omzetter zet 36 V om in 48 V bij 200 kHz met L = 220 µH. Bepaal de piek-piek-rimpelstroom ΔIL door de spoel.
Vin = 36 VVo = 48 Vf = 200 kHzL = 220 µH
ΔIL = A
2.DC-DC-omzettersMoeilijk
Een ideale buck-boost-omzetter zet 36 V om in −84 V voor een belasting van 2 Ω bij 100 kHz. De uitgangscondensator is 47 µF. Bepaal de piek-piek-rimpel ΔVo van de uitgangsspanning in mV.
Vin = 36 VVo = −84 Vf = 100 kHzC = 47 µFR = 2 Ω
ΔVo = mV
3.GelijkstroommotorenGemiddeld
Een gelijkstroommotor (k = 1,5 N·m/A, Ra = 0,5 Ω) draait op 110 V en drijft een lastkoppel van 15 N·m aan. Bepaal zijn toerental n in rpm.
V = 110 Vk = 1,5 N·m/ARa = 0,5 ΩT = 15 N·m
n = rpm
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
Een separaat bekrachtigde gelijkstroommotor (k = 0,6 V·s/rad bij vol veld, Ra = 1,5 Ω, V = 120 V) drijft een constant lastkoppel van 2,4 N·m aan. De veldflux wordt verlaagd tot 85 % van de volle waarde. Bepaal het nieuwe toerental n.
Een inductieve belasting neemt 16 A en 2688 W op uit een eenfasige voeding van 240 V (rms). Modelleer haar als een weerstand R in serie met een reactantie X. Vind X.
V = 240 VI = 16 AP = 2688 W
X = Ω
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
Een eenfasige belasting neemt 21 kW op met een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een voeding van 400 V, 60 Hz. Parallel aan de belasting wordt een condensator van 220 µF aangesloten. Vind de nieuwe arbeidsfactor cos φ die de voeding ziet.
P = 21 kWpf1 = 0,8V = 400 Vf = 60 HzC = 220 µF
cos φ =
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een driefasige inductiemotor levert bij vollast 18,5 kW mechanisch vermogen. Bij deze belasting is het rendement 90% en de arbeidsfactor 0,9 inductief. Het net heeft een lijnspanning van 415 V. Vind de lijnstroom IL.
Pout = 18,5 kWη = 90%cos φ = 0,9VL = 415 V
IL = A
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 50 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,78 uit een net van 690 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,95 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. Vind het totale blindvermogen QC dat de condensatorbank moet leveren, in kvar.
P = 50 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,95VL = 690 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3Oplossingen
1.DC-DC-omzetters
Antwoord: ΔIL = 0,2045 A
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 1 − 36/48 = 0,25
Spoelspanning tijdens de aan-tijd
Zolang S aan staat, ligt de spoel direct over Vin.
VL = 36 V
Rimpelstroom
ΔIL = VL·D/(L·f) = 36·0,25/(220·10⁻⁶·200·10³) = 0,2045 A
Antwoord
ΔIL = 0,2045 A
2.DC-DC-omzetters
Antwoord: ΔVo = 6255 mV
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 84/(36 + 84) = 0,7
Belastingsstroom
Io = 84/2 = 42 A
Uitgangsrimpel
ΔVo = 42·0,7/(100·10³·47·10⁻⁶) = 6255 mV
Antwoord
ΔVo = 6255 mV
3.Gelijkstroommotoren
Antwoord: n = 668,5 rpm
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Ankerstroom
Ia = T/k = 15/1,5 = 10 A
Tegen-EMK en toerental
E = 110 − 10·0,5 = 105 V
ω = E/k = 70 rad/s → n = 668,5 rpm
Antwoord
n = 668,5 rpm
4.Gelijkstroommotoren
Antwoord: n = 2115 rpm
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Zo draait een gelijkstroomaandrijving boven zijn basistoerental: door veldverzwakking.
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: X = 10,71 Ω
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Weerstand uit het werkelijk vermogen
R = P/I² = 2688/16² = 10,5 Ω
Reactantie uit de impedantie
|Z| = V/I = 240/16 = 15 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(15² − 10,5²) = 10,71 Ω
Antwoord
X = 10,71 Ω
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: cos φ = 0,9931
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.
Q1 = 21·tan(arccos 0,8) = 15,75 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·60·220·10⁻⁶ = 13270 var = 13,27 kvar
Q2 = 15,75 − 13,27 = 2,48 kvar
Nieuw schijnbaar vermogen
S2 = √(21² + 2,48²) = 21,15 kVA
Nieuwe arbeidsfactor
cos φ = P/S2 = 21/21,15 = 0,9931
Antwoord
cos φ = 0,9931
7.Draaistroomvermogen
Antwoord: IL = 31,77 A
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Opgenomen elektrisch vermogen
Pin = Pout/η = 18,5/0,9 = 20,56 kW
Lijnstroom
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 20556/(√3·415·0,9) = 31,77 A
Antwoord
IL = 31,77 A
8.Draaistroomvermogen
Antwoord: QC = 23,68 kvar
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.