Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.
Gelijkstroommotoren
Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc
Methode
Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
2Oefenopgaven
1.DC-DC-omzettersGemiddeld
Een ideale boost-omzetter zet 9 V om in 22,5 V voor een belasting van 5 Ω. Bepaal de gemiddelde spoelstroom IL.
Vin = 9 VVo = 22,5 VR = 5 Ω
IL = A
2.DC-DC-omzettersMoeilijk
Een buck-omzetter zet 9 V om in 2,7 V bij 40 kHz met L = 330 µH. Bepaal de kleinste belastingsstroom Io,min waarbij hij in continue geleiding blijft.
Vin = 9 VVo = 2,7 Vf = 40 kHzL = 330 µH
Io,min = A
3.GelijkstroommotorenGemiddeld
Een gelijkstroommotor met k = 1 N·m/A en Ra = 0,8 Ω is aangesloten op 220 V. Bepaal zijn blokkeerkoppel Tstall, het koppel bij toerental nul.
V = 220 Vk = 1 N·m/ARa = 0,8 Ω
Tstall = N·m
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
Een gelijkstroommotor (k = 1,2 V·s/rad, Ra = 0,2 Ω) op een vaste voeding van 220 V drijft een last van 48 N·m aan. Bepaal de serieweerstand Rs die hem vertraagt tot 400 rpm.
Een eenfasige motor neemt 14 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,85 uit een voeding van 240 V. Vind het blindvermogen Q dat hij opneemt.
P = 14 kWpf = 0,85V = 240 V
Q = kvar
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
Een eenfasige belasting neemt 50 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,7 uit een voeding van 240 V, 50 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,92. Vind het blindvermogen QC dat de condensator moet leveren.
P = 50 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,92V = 240 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een driefasige inductiemotor levert bij vollast 22 kW mechanisch vermogen. Bij deze belasting is het rendement 95% en de arbeidsfactor 0,86 inductief. Het net heeft een lijnspanning van 415 V. Vind de lijnstroom IL.
Pout = 22 kWη = 95%cos φ = 0,86VL = 415 V
IL = A
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 75 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,72 uit een net van 415 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,92 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in driehoek geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.
P = 75 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,92VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Oplossingen
1.DC-DC-omzetters
Antwoord: IL = 11,25 A
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 1 − 9/22,5 = 0,6
Belastingsstroom
Io = 22,5/5 = 4,5 A
Spoelstroom
IL = Io/(1 − D) = 4,5/0,4 = 11,25 A
Antwoord
IL = 11,25 A
2.DC-DC-omzetters
Antwoord: Io,min = 0,07159 A
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 2,7/9 = 0,3
Rimpelstroom
ΔIL = 2,7·0,7/(330·10⁻⁶·40·10³) = 0,1432 A
Belastingsstroom op de grens
Io,min = ΔIL/2 = 0,07159 A
Antwoord
Io,min = 0,07159 A
Onder deze stroom gaat de omzetter over op discontinue geleiding en stijgt Vo boven D·Vin.
3.Gelijkstroommotoren
Antwoord: Tstall = 275 N·m
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Blokkeerstroom
Ia = V/Ra = 220/0,8 = 275 A
Blokkeerkoppel
Tstall = 1·275 = 275 N·m
Antwoord
Tstall = 275 N·m
4.Gelijkstroommotoren
Antwoord: Rs = 4,043 Ω
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Stroom en tegen-EMK
Ia = 48/1,2 = 40 A
E = 1,2·41,89 = 50,27 V
Serieweerstand
Ra + Rs = (220 − 50,27)/40 = 4,243 Ω
Rs = 4,043 Ω
Antwoord
Rs = 4,043 Ω
De weerstand verspilt 6469 W; een chopper regelt het toerental met veel minder verlies.
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: Q = 8,676 kvar
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Hoek
φ = arccos(0,85) = 31,79°, tan φ = 0,6197
Blindvermogen
Q = P·tan φ = 14·0,6197 = 8,676 kvar
Antwoord
Q = 8,676 kvar
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: QC = 29,71 kvar
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.
Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(45,57°) = 51,01 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(23,07°) = 21,3 kvar
QC = Q1 − Q2 = 29,71 kvar
Antwoord
QC = 29,71 kvar
7.Draaistroomvermogen
Antwoord: IL = 37,46 A
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Opgenomen elektrisch vermogen
Pin = Pout/η = 22/0,95 = 23,16 kW
Lijnstroom
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 23158/(√3·415·0,86) = 37,46 A
Antwoord
IL = 37,46 A
8.Draaistroomvermogen
Antwoord: Cph = 207,1 µF
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
Q1 = 75·tan(acos 0,72) = 75·0,9639 = 72,29 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,92) = 75·0,426 = 31,95 kvar
Blindvermogen van de condensatoren
QC = Q1 − Q2 = 40,34 kvar
Capaciteit per fase
In een driehoeksbank is elke condensator aangesloten tussen twee lijnen.