Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.
Gelijkstroommotoren
Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc
Methode
Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
2Oefenopgaven
1.DC-DC-omzettersGemiddeld
Een buck-omzetter zet 48 V om in 33,6 V voor een belasting van 5 Ω. Hij schakelt met 40 kHz met L = 100 µH. Bepaal de piekspoelstroom Imax.
Een buck-omzetter zet 9 V om in 5,4 V voor een belasting van 8 Ω bij 100 kHz, met L = 22 µH en C = 100 µF. Bepaal de piek-piek-rimpel ΔVo van de uitgangsspanning in mV.
Een gelijkstroommotor neemt 15 A op uit een voeding van 220 V. Zijn ankerweerstand is 0,8 Ω en zijn rotatieverliezen (wrijving, luchtweerstand en ijzer) zijn 187 W. Bepaal zijn rendement η.
V = 220 VIa = 15 ARa = 0,8 ΩProt = 187 W
η = %
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
Een separaat bekrachtigde gelijkstroommotor op 110 V (Ra = 0,25 Ω) draait met 1800 rpm bij een ankerstroom van 15 A. De belasting verandert en de stroom wordt 7,5 A, terwijl het veld gelijk blijft. Bepaal het nieuwe toerental n2.
V = 110 VRa = 0,25 Ωn1 = 1800 rpmIa1 = 15 AIa2 = 7,5 A
n2 = rpm
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
Een inductieve belasting neemt 18,5 A en 1776 W op uit een eenfasige voeding van 120 V (rms). Modelleer haar als een weerstand R in serie met een reactantie X. Vind R.
V = 120 VI = 18,5 AP = 1776 W
R = Ω
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
Een eenfasige transformator van 200 kVA voedt een belasting van 94 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,85. Hoeveel extra werkelijk vermogen ΔP kan er als resistieve belasting (arbeidsfactor 1) worden bijgeplaatst voordat de transformator zijn nominale kVA bereikt?
Smax = 200 kVAP1 = 94 kWpf1 = 0,85
ΔP = kW
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een driefasige inductiemotor levert bij vollast 110 kW mechanisch vermogen. Bij deze belasting is het rendement 88% en de arbeidsfactor 0,86 inductief. Het net heeft een lijnspanning van 480 V. Vind de lijnstroom IL.
Pout = 110 kWη = 88%cos φ = 0,86VL = 480 V
IL = A
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 200 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,78 uit een net van 415 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,9 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in ster geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.
P = 200 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,9VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Oplossingen
1.DC-DC-omzetters
Antwoord: Imax = 7,98 A
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 33,6/48 = 0,7
Gemiddelde stroom en rimpelstroom
Io = 33,6/5 = 6,72 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 14,4·0,7/(100·10⁻⁶·40·10³) = 2,52 A
Piekstroom
Imax = 6,72 + 2,52/2 = 7,98 A
Antwoord
Imax = 7,98 A
2.DC-DC-omzetters
Antwoord: ΔVo = 12,27 mV
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 5,4/9 = 0,6
Spoelrimpelstroom
ΔIL = (9 − 5,4)·0,6/(22·10⁻⁶·100·10³) = 0,9818 A
Uitgangsrimpel
ΔVo = 0,9818/(8·100·10³·100·10⁻⁶) = 12,27 mV
Antwoord
ΔVo = 12,27 mV
3.Gelijkstroommotoren
Antwoord: η = 88,88 %
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Vermogens
Pin = 220·15 = 3300 W
Pdev = 208·15 = 3120 W
Pout = 3120 − 187 = 2933 W
Rendement
η = 2933/3300·100 = 88,88 %
Antwoord
η = 88,88 %
4.Gelijkstroommotoren
Antwoord: n2 = 1832 rpm
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Tegen-EMK ervoor en erna
E1 = 110 − 15·0,25 = 106,3 V
E2 = 110 − 7,5·0,25 = 108,1 V
Nieuw toerental
n2 = 1800·108,1/106,3 = 1832 rpm
Antwoord
n2 = 1832 rpm
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: R = 5,189 Ω
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Weerstand uit het werkelijk vermogen
R = P/I² = 1776/18,5² = 5,189 Ω
Antwoord
R = 5,189 Ω
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: ΔP = 97,33 kW
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen van de bestaande belasting
Q1 = 94·tan(arccos 0,85) = 58,26 kvar
Grootste totale werkelijk vermogen
Bij volle belasting is S = Smax, en Q verandert niet door de resistieve belasting.
P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 58,26²) = 191,3 kW
Extra werkelijk vermogen
ΔP = 191,3 − 94 = 97,33 kW
Antwoord
ΔP = 97,33 kW
7.Draaistroomvermogen
Antwoord: IL = 174,8 A
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Opgenomen elektrisch vermogen
Pin = Pout/η = 110/0,88 = 125 kW
Lijnstroom
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 125000/(√3·480·0,86) = 174,8 A
Antwoord
IL = 174,8 A
8.Draaistroomvermogen
Antwoord: Cph = 979,4 µF
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
Q1 = 200·tan(acos 0,78) = 200·0,8023 = 160,5 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,9) = 200·0,4843 = 96,86 kvar
Blindvermogen van de condensatoren
QC = Q1 − Q2 = 63,59 kvar
Capaciteit per fase
In een sterbank is elke condensator aangesloten tussen een lijn en het sterpunt.