Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.
Gelijkstroommotoren
Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc
Methode
Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
2Oefenopgaven
1.DC-DC-omzettersGemiddeld
Een ideale buck-omzetter zet 48 V om in 36 V bij een schakelfrequentie van 100 kHz. Bepaal de zelfinductie L die de piek-piek-rimpelstroom door de spoel op 0,6 A houdt.
Vin = 48 VVo = 36 Vf = 100 kHzΔIL = 0,6 A
L = µH
2.DC-DC-omzettersMoeilijk
Een ideale boost-omzetter zet 12 V om in 24 V voor een belasting van 8 Ω bij 200 kHz. De uitgangscondensator is 22 µF. Bepaal de piek-piek-rimpel ΔVo van de uitgangsspanning in mV.
Vin = 12 VVo = 24 Vf = 200 kHzC = 22 µFR = 8 Ω
ΔVo = mV
3.GelijkstroommotorenGemiddeld
Een gelijkstroommotor levert 1 kW mechanisch vermogen bij 1450 rpm. Bepaal het askoppel T.
P = 1 kWn = 1450 rpm
T = N·m
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
Een gelijkstroommotor met k = 1,2 V·s/rad en Ra = 1,2 Ω moet een last van 18 N·m aandrijven bij 800 rpm. Bepaal de ankerspanning V die hij nodig heeft.
k = 1,2 V·s/radRa = 1,2 ΩT = 18 N·mn = 800 rpm
V = V
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
Twee belastingen zijn parallel aangesloten op een eenfasige voeding van 230 V: een belasting van 4 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,85 en een belasting van 3 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,7. Vind de totale arbeidsfactor cos φ die de voeding ziet.
Een eenfasige transformator van 100 kVA voedt een belasting van 35 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,8. Hoeveel extra werkelijk vermogen ΔP kan er als resistieve belasting (arbeidsfactor 1) worden bijgeplaatst voordat de transformator zijn nominale kVA bereikt?
Smax = 100 kVAP1 = 35 kWpf1 = 0,8
ΔP = kW
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een symmetrische, in ster geschakelde belasting met een impedantie van 24 + j7 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 400 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.
VL = 400 VZ = 24 + j7 Ω per fase
P = kW
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 200 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,7 uit een net van 400 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,92 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in ster geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.
P = 200 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,92VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Oplossingen
1.DC-DC-omzetters
Antwoord: L = 150 µH
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 36/48 = 0,75
Zelfinductie
L = 12·0,75/(0,6·100·10³) = 150 µH
Antwoord
L = 150 µH
2.DC-DC-omzetters
Antwoord: ΔVo = 340,9 mV
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 1 − 12/24 = 0,5
Belastingsstroom
Io = 24/8 = 3 A
Uitgangsrimpel
ΔVo = 3·0,5/(200·10³·22·10⁻⁶) = 340,9 mV
Antwoord
ΔVo = 340,9 mV
3.Gelijkstroommotoren
Antwoord: T = 6,586 N·m
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Snelheid in rad/s
ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
Koppel
T = P/ω = 1000/151,8 = 6,586 N·m
Antwoord
T = 6,586 N·m
4.Gelijkstroommotoren
Antwoord: V = 118,5 V
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Tegen-EMK
E = 1,2·83,78 = 100,5 V
Ankerstroom
Ia = 18/1,2 = 15 A
Ankerspanning
V = 100,5 + 15·1,2 = 118,5 V
Antwoord
V = 118,5 V
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: cos φ = 0,7842
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen van elke belasting
Een inductieve belasting neemt blindvermogen op (Q > 0); een capacitieve belasting levert het (Q < 0).
Q1 = 4·tan(arccos 0,85) = 2,479 kvar
Q2 = 3·tan(arccos 0,7) = 3,061 kvar
Totalen
P = 4 + 3 = 7 kW
Q = 2,479 + 3,061 = 5,54 kvar
S = √(7² + 5,54²) = 8,927 kVA
Totale arbeidsfactor
cos φ = P/S = 7/8,927 = 0,7842 inductief
Antwoord
cos φ = 0,7842
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: ΔP = 61,49 kW
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen van de bestaande belasting
Q1 = 35·tan(arccos 0,8) = 26,25 kvar
Grootste totale werkelijk vermogen
Bij volle belasting is S = Smax, en Q verandert niet door de resistieve belasting.
P = √(Smax² − Q1²) = √(100² − 26,25²) = 96,49 kW
Extra werkelijk vermogen
ΔP = 96,49 − 35 = 61,49 kW
Antwoord
ΔP = 61,49 kW
7.Draaistroomvermogen
Antwoord: P = 6,144 kW
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Fasespanning
Vph = 400/√3 = 230,9 V
Fasestroom
|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
Iph = 230,9/25 = 9,238 A
Totaal werkelijk vermogen
Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.
P = 3·Iph²·R = 3·9,238²·24 = 6,144 kW
Antwoord
P = 6,144 kW
Controle: cos φ = R/|Z| = 0,96, en √3·VL·IL·cos φ geeft hetzelfde vermogen.
8.Draaistroomvermogen
Antwoord: Cph = 2364 µF
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
Q1 = 200·tan(acos 0,7) = 200·1,02 = 204 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,92) = 200·0,426 = 85,2 kvar
Blindvermogen van de condensatoren
QC = Q1 − Q2 = 118,8 kvar
Capaciteit per fase
In een sterbank is elke condensator aangesloten tussen een lijn en het sterpunt.