Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.
Gelijkstroommotoren
Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc
Methode
Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
2Oefenopgaven
1.DC-DC-omzettersGemiddeld
Een ideale boost-omzetter zet 24 V om in 32 V bij 25 kHz met L = 220 µH. Bepaal de piek-piek-rimpelstroom ΔIL door de spoel.
Vin = 24 VVo = 32 Vf = 25 kHzL = 220 µH
ΔIL = A
2.DC-DC-omzettersMoeilijk
Een buck-omzetter zet 24 V om in 14,4 V bij 500 kHz met L = 330 µH. Bepaal de kleinste belastingsstroom Io,min waarbij hij in continue geleiding blijft.
Vin = 24 VVo = 14,4 Vf = 500 kHzL = 330 µH
Io,min = A
3.GelijkstroommotorenGemiddeld
Een gelijkstroommotor (k = 2 V·s/rad, Ra = 0,8 Ω) draait op 240 V. Bij vollast neemt hij 10 A op. Bepaal zijn toerentalregeling SR = (n₀ − nFL)/nFL in procent, als je de nullaststroom verwaarloost.
V = 240 Vk = 2 V·s/radRa = 0,8 ΩIFL = 10 A
SR = %
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
Een kleine gelijkstroommotor heeft een ankerweerstand van 1 Ω en draait op 110 V. Bepaal het grootste mechanische vermogen Pmax dat hij bij enig toerental kan ontwikkelen, als je rotatieverliezen verwaarloost.
V = 110 VRa = 1 Ω
Pmax = W
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
Een belasting met impedantie Z = 6 + j8 Ω is aangesloten op een eenfasige voeding van 230 V (rms). Vind het werkelijk vermogen P dat ze opneemt.
V = 230 VZ = 6 + j8 Ω
P = W
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
Een eenfasige belasting neemt 5 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,6 uit een voeding van 400 V, 60 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,95. Vind de benodigde capaciteit C.
P = 5 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,95V = 400 Vf = 60 Hz
C = µF
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een driefasige inductiemotor levert bij vollast 55 kW mechanisch vermogen. Bij deze belasting is het rendement 94% en de arbeidsfactor 0,84 inductief. Het net heeft een lijnspanning van 690 V. Vind de lijnstroom IL.
Pout = 55 kWη = 94%cos φ = 0,84VL = 690 V
IL = A
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 50 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een net van 400 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,92 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. Vind het totale blindvermogen QC dat de condensatorbank moet leveren, in kvar.
P = 50 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,92VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3Oplossingen
1.DC-DC-omzetters
Antwoord: ΔIL = 1,091 A
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 1 − 24/32 = 0,25
Spoelspanning tijdens de aan-tijd
Zolang S aan staat, ligt de spoel direct over Vin.
VL = 24 V
Rimpelstroom
ΔIL = VL·D/(L·f) = 24·0,25/(220·10⁻⁶·25·10³) = 1,091 A
Antwoord
ΔIL = 1,091 A
2.DC-DC-omzetters
Antwoord: Io,min = 0,01745 A
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 14,4/24 = 0,6
Rimpelstroom
ΔIL = 14,4·0,4/(330·10⁻⁶·500·10³) = 0,03491 A
Belastingsstroom op de grens
Io,min = ΔIL/2 = 0,01745 A
Antwoord
Io,min = 0,01745 A
Onder deze stroom gaat de omzetter over op discontinue geleiding en stijgt Vo boven D·Vin.
3.Gelijkstroommotoren
Antwoord: SR = 3,448 %
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Toerental bij nullast en vollast
n₀ = 60·240/(2π·2) = 1146 rpm
nFL = 60·(240 − 10·0,8)/(2π·2) = 1108 rpm
Toerentalregeling
SR = (1146 − 1108)/1108·100 = 3,448 %
Antwoord
SR = 3,448 %
4.Gelijkstroommotoren
Antwoord: Pmax = 3025 W
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Vermogen als functie van de tegen-EMK
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 55 V
Maximaal vermogen
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 110²/(4·1) = 3025 W
Antwoord
Pmax = 3025 W
Op dit punt is het rendement slechts 50 %, dus echte motoren draaien ruim boven het halve toerental.
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: P = 3174 W
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Stroom
|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 230/10 = 23 A
Werkelijk vermogen
P = I²·R = 23²·6 = 3174 W
Antwoord
P = 3174 W
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: C = 83,28 µF
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.
Q1 = P·tan φ1 = 5·tan(53,13°) = 6,667 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 5·tan(18,19°) = 1,643 kvar
QC = Q1 − Q2 = 5,023 kvar
Capaciteit
Een condensator over de voeding levert Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 5023/(2π·60·400²) = 83,28 µF
Antwoord
C = 83,28 µF
7.Draaistroomvermogen
Antwoord: IL = 58,28 A
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Opgenomen elektrisch vermogen
Pin = Pout/η = 55/0,94 = 58,51 kW
Lijnstroom
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 58511/(√3·690·0,84) = 58,28 A
Antwoord
IL = 58,28 A
8.Draaistroomvermogen
Antwoord: QC = 37,16 kvar
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.