Vermogenselektronica en aandrijvingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

DC-DC-omzetters

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Inverterende buck-boost
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Ideale vermogensbalans
VinIin = VoIo
Spoelrimpel
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Gemiddelde spoelstroom
buck Io; boost en buck-boost Io/(1 − D)
Uitgangsrimpel
buck ΔIL/(8fC); boost en buck-boost Io·D/(fC)
Grens van continue geleiding
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Methode

  1. Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
  2. Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
  3. Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.

Gelijkstroommotoren

Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc

Methode

  1. Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
  2. Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
  3. Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
  4. Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η

2Oefenopgaven

1.DC-DC-omzettersGemiddeld
tiL​Imax​ = ?Imin​Io​DTT2T

Een buck-omzetter zet 48 V om in 19,2 V voor een belasting van 2 Ω. Hij schakelt met 200 kHz met L = 330 µH. Bepaal de piekspoelstroom Imax.

Vin​ = 48 VVo​ = 19,2 Vf = 200 kHzL = 330 µHR = 2 Ω
Imax = A
2.DC-DC-omzettersMoeilijk
tvo​Vo​ΔV = ?DTT2T

Een buck-omzetter zet 36 V om in 10,8 V voor een belasting van 8 Ω bij 200 kHz, met L = 47 µH en C = 100 µF. Bepaal de piek-piek-rimpel ΔVo van de uitgangsspanning in mV.

Vin​ = 36 VVo​ = 10,8 Vf = 200 kHzL = 47 µHC = 100 µF
ΔVo = mV
3.GelijkstroommotorenGemiddeld
+−VRa​M+−En = 960 rpmT = ?

Een gelijkstroommotor levert 0,75 kW mechanisch vermogen bij 960 rpm. Bepaal het askoppel T.

P = 0,75 kWn = 960 rpm
T = N·m
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
+−240 VRa​ = 0,25 ΩIa​: 30 → 12 AM+−En = ?T

Een separaat bekrachtigde gelijkstroommotor op 240 V (Ra = 0,25 Ω) draait met 1000 rpm bij een ankerstroom van 30 A. De belasting verandert en de stroom wordt 12 A, terwijl het veld gelijk blijft. Bepaal het nieuwe toerental n2.

V = 240 VRa = 0,25 Ωn1 = 1000 rpmIa1 = 30 AIa2 = 12 A
n2 = rpm
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
P = 31 kWQSφ

Een eenfasige motor neemt 31 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,6 uit een voeding van 230 V. Vind de lijnstroom I.

P = 31 kWpf = 0,6V = 230 V
I = A
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
P = 45 kWQ1​S1​φ1​QC​

Een eenfasige belasting neemt 45 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,7 uit een voeding van 240 V, 60 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,98. Vind de benodigde capaciteit C.

P = 45 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,98V = 240 Vf = 60 Hz
C = µF
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
ABCVL​ = 208 VNZ = 18 + j24 Ωper fase

Een symmetrische, in ster geschakelde belasting met een impedantie van 18 + j24 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 208 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.

VL = 208 VZ = 18 + j24 Ω per fase
P = kW
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​

Een symmetrische driefasige belasting neemt 100 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,72 uit een net van 690 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,9 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in ster geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.

P = 100 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF

3Oplossingen

1.DC-DC-omzetters

Antwoord: Imax = 9,687 A

DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.

Duty cycle

D = 19,2/48 = 0,4

Gemiddelde stroom en rimpelstroom

Io = 19,2/2 = 9,6 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 28,8·0,4/(330·10⁻⁶·200·10³) = 0,1745 A

Piekstroom

Imax = 9,6 + 0,1745/2 = 9,687 A

Antwoord

Imax = 9,687 A
2.DC-DC-omzetters

Antwoord: ΔVo = 5,027 mV

DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.

Duty cycle

D = 10,8/36 = 0,3

Spoelrimpelstroom

ΔIL = (36 − 10,8)·0,3/(47·10⁻⁶·200·10³) = 0,8043 A

Uitgangsrimpel

ΔVo = 0,8043/(8·200·10³·100·10⁻⁶) = 5,027 mV

Antwoord

ΔVo = 5,027 mV
3.Gelijkstroommotoren

Antwoord: T = 7,46 N·m

Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.

Snelheid in rad/s

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

Koppel

T = P/ω = 750/100,5 = 7,46 N·m

Antwoord

T = 7,46 N·m
4.Gelijkstroommotoren

Antwoord: n2 = 1019 rpm

Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.

Tegen-EMK ervoor en erna

E1 = 240 − 30·0,25 = 232,5 V
E2 = 240 − 12·0,25 = 237 V

Nieuw toerental

n2 = 1000·237/232,5 = 1019 rpm

Antwoord

n2 = 1019 rpm
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: I = 224,6 A

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Lijnstroom

Alleen het werkelijke deel van het vermogen doet werk, dus deel door de arbeidsfactor.

I = P/(V·cos φ) = 31000/(230·0,6) = 224,6 A

Antwoord

I = 224,6 A
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: C = 1693 µF

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.

Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(45,57°) = 45,91 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(11,48°) = 9,138 kvar
QC = Q1 − Q2 = 36,77 kvar

Capaciteit

Een condensator over de voeding levert Q = V²·ωC.

C = QC/(2πf·V²) = 36772/(2π·60·240²) = 1693 µF

Antwoord

C = 1693 µF
7.Draaistroomvermogen

Antwoord: P = 0,8653 kW

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Fasespanning

Vph = 208/√3 = 120,1 V

Fasestroom

|Z| = √(18² + 24²) = 30 Ω
Iph = 120,1/30 = 4,003 A

Totaal werkelijk vermogen

Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.

P = 3·Iph²·R = 3·4,003²·18 = 0,8653 kW

Antwoord

P = 0,8653 kW

Controle: cos φ = R/|Z| = 0,6, en √3·VL·IL·cos φ geeft hetzelfde vermogen.

8.Draaistroomvermogen

Antwoord: Cph = 320,6 µF

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q1 = 100·tan(acos 0,72) = 100·0,9639 = 96,39 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,9) = 100·0,4843 = 48,43 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

QC = Q1 − Q2 = 47,95 kvar

Capaciteit per fase

In een sterbank is elke condensator aangesloten tussen een lijn en het sterpunt.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 15984/(314,2·398,4²) = 320,6 µF

Antwoord

Cph = 320,6 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-electronics