Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Dezelfde 25 deelnemers maken een geheugentest voor en na cafeïne. De scores zijn van intervalniveau en ongeveer normaal verdeeld. Welke toets is geschikt?

AT-toets voor gepaarde (gerelateerde) steekproeven
BMann-Whitney U-toets
CT-toets voor onafhankelijke steekproeven
DChikwadraattoets

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een onderzoeker voert 20 analyses uit op een dataset en rapporteert alleen die ene met p < 0,05. Deze praktijk heet:

APreregistratie
BCounterbalancing
CP-hacking
DTriangulatie

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 54, 17, 31, 51, 38, 14.

n = 6

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt boven 130?

μ = 170σ = 20x = 130

P =

5.KansrekeningGemiddeld

Een zak bevat 5 rode en 9 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

5 / 9

P =

6.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 12 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,2. Wat is de kans P op precies 4 goede antwoorden?

n = 12p = 0,2k = 4

P =

7.Normale verdelingGemiddeld

X is normaal verdeeld met gemiddelde 12 min en standaardafwijking 1,5 min; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 20 min en standaardafwijking 2 min. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 35,8 min. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35,8 min

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,03 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.

gat: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 40 telefoons, gemiddelde 64 h, bekende standaardafwijking 19 h. Model 2: 100 telefoons, gemiddelde 54,5 h, bekende standaardafwijking 18 h. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 64 hσ₁ = 19 hn₂ = 100x̄₂ = 54,5 hσ₂ = 18 h95%

bovengrens = h

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 11 proefvelden, gemiddelde opbrengst 30,5 kg, standaardafwijking 7 kg. Groep 2: 5 proefvelden, gemiddelde 26,5 kg, standaardafwijking 7 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 30,5s₁ = 7n₂ = 5x̄₂ = 26,5s₂ = 795%t(14) = 2,145

ondergrens = kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

20 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 2,12 en de standaardafwijking van de verschillen is 3,8. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 20d̄ = 2,12s_d = 3,8

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 2,5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 90 %. De standaardafwijking is 18. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,01onderscheidend vermogen = 90%δ = 2,5σ = 18z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (6, 83) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(6, 83)

e =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 1802 × 2

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

De tabel toont waargenomen aantallen. Toets bij α = 0,01 of de twee variabelen onafhankelijk zijn (zonder continuïteitscorrectie). Bereken de toetsingsgrootheid χ² en vergelijk die daarna met de kritieke waarde uit de tabel.

N = 1803 × 2α = 0,01

χ² =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · T-toets voor gepaarde (gerelateerde) steekproeven

Waarom dit het antwoord is

Een gepaarde t-toets vergelijkt gemiddelden van dezelfde deelnemers in twee condities, met gebruik van de verschillen binnen elke persoon.

Antwoord

A · T-toets voor gepaarde (gerelateerde) steekproeven

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · P-hacking

Waarom dit het antwoord is

P-hacking buit de flexibiliteit in analyses uit om significantie te bereiken, waardoor het percentage fout-positieven ver boven 5% stijgt. Preregistratie en transparant rapporteren verminderen dit.

Antwoord

C · P-hacking

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 16,75

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 205/6 = 34,17

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 19,83² + (−17,17)² + (−3,167)² + 16,83² + 3,833² + (−20,17)² = 1403

Standaardafwijking

s = √(1403/5) = 16,75

Antwoord

s = 16,75

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,9772

Standaardiseren

z = −2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Antwoord

P = 0,9772

5.Kansrekening

Antwoord: P = 0,1099

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 5/14 · 4/13 = 20/182 = 0,1099

Antwoord

P = 0,1099

6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,1329

Binomiale formule

P(X = 4) = 495·0,2⁴·0,8⁸ = 495·0,0016·0,1678 = 0,1329

Antwoord

P = 0,1329

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,06426

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standaardiseren

z = (35,8 − 32)/2,5 = 1,52

Rechterstaart

P = 1 − Φ(1,52) = 1 − 0,9357 = 0,06426

Antwoord

P = 0,06426

8.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,8554

Verdeling van het verschil

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02828 mm

Standaardiseren

z = (0 − 0,03)/0,02828 = −1,06

Kansrekening

P = 1 − Φ(−1,06) = 0,8554

Antwoord

P = 0,8554

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 16,36 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 64 − 54,5 = 9,5

Standaardfout

SE = √(19²/40 + 18²/100) = 3,502

Foutmarge

E = 1,96·3,502 = 6,864

Interval

9,5 ± 6,864 → [2,636, 16,36]

Antwoord

bovengrens = 16,36 h

Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −4,098 kg

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (10·7² + 4·7²)/14 = 49

s_p = 7

Foutmarge

E = 2,145·7·√(1/11 + 1/5) = 8,098

Interval

4 ± 8,098 → [−4,098, 12,1]

Antwoord

ondergrens = −4,098 kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 2,495

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 3,8/√20 = 0,8497

Toetsingsgrootheid

t = 2,12/0,8497 = 2,495

Antwoord

t = 2,495

Bij df = 19 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,093; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 675

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((2,326 + 1,282)·18/2,5)² = 674,8

Naar boven afronden

n = 675

Antwoord

n = 675

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9538

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 66/6 = 11

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 162

Determinatiecoëfficiënt

r² = 104²/(70·162) = 0,9538

Antwoord

r² = 0,9538

Ongeveer 95,38% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −3,55

Gemiddelden

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 398/5 = 79,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 278

Regressielijn

b = 278/40 = 6,95

a = 79,6 − 6,95·5 = 44,85

ŷ = 44,85 + 6,95·x

Voorspelde waarde

ŷ = 44,85 + 6,95·6 = 86,55

Residu

e = 83 − 86,55 = −3,55

Antwoord

e = −3,55

Het punt ligt onder de lijn.

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 3,636

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

rokers: 120·81/180 = 54, 120·99/180 = 66

niet-rokers: 60·81/180 = 27, 60·99/180 = 33

Chikwadraatgrootheid

χ² = (48 − 54)²/54 + (72 − 66)²/66 + (33 − 27)²/27 + (27 − 33)²/33

χ² = 3,636

Antwoord

χ² = 3,636

df = 1. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 3,841, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt niet verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 29

Verwachte aantallen

fabriek A: 50, 50

fabriek B: 20, 20

fabriek C: 20, 20

Chikwadraatgrootheid

χ² = (60 − 50)²/50 + (40 − 50)²/50 + (25 − 20)²/20 + (15 − 20)²/20 + (5 − 20)²/20 + (35 − 20)²/20

χ² = 29

Beslissing

df = 2, χ²_crit = 9,210

29 > 9,210

Antwoord

χ² = 29

χ² ligt boven de kritieke waarde, dus H₀ wordt verworpen: de variabelen lijken samen te hangen.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology