Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Deskundigen controleren of de items van een wiskundetentamen alle onderwerpen van de leerstof dekken. Dit beoordeelt:

AEcologische validiteit
BPredictieve validiteit
CTest-hertestbetrouwbaarheid
DInhoudsvaliditeit

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

De "replicatiecrisis" in de psychologie verwijst naar:

AEen wettelijke verplichting voor tijdschriften om alle ingediende replicatiestudies af te wijzen
BHet kopiëren van vragenlijsten zonder toestemming
CEen tekort aan deelnemers voor experimenten
DDat veel gepubliceerde bevindingen niet reproduceren in nieuwe studies

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 27, 25, 49, 22, 46, 53.

n = 6

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 5. Bereken de z-score z van een score van 103.

μ = 100σ = 5x = 103

z =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,2, 0,3, 0,25

Var(X) =

6.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €5 inzet. Je wint €10 met kans 0,15 en €50 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €5€10: p = 0,15€50: p = 0,02

E(G) = €

7.Normale verdelingGemiddeld

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 247,5 en 257,75 g? Geef P als decimaal getal.

μ = 250σ = 5x₁ = 247,5x₂ = 257,75

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 10% ervan ligt (het 10e percentiel).

μ = 32σ = 6P = 10%

x = min

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 8 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 5,3 en standaardafwijking 1,2. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 8d̄ = 5,3s_d = 1,290%t(7) = 1,895

ondergrens = mmHg

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 20 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 1,5 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 19 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 8,907 en 2,5% boven 32,852.

n = 20s = 1,5 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

10 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 2,66 en de standaardafwijking van de verschillen is 4. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 10d̄ = 2,66s_d = 4

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 12 van de 80 patiënten met behandeling A en 29 van de 150 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 12n₁ = 80x₂ = 29n₂ = 150

z =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 3,5.

n = 6x = 3,5

ŷ =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 1002 × 2

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Een chikwadraat-aanpassingstoets vergelijkt waargenomen aantallen in 7 categorieën met volledig gespecificeerde verwachte verhoudingen (er worden geen parameters uit de data geschat). Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?

k = 7

df =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Inhoudsvaliditeit

Waarom dit het antwoord is

Inhoudsvaliditeit is de mate waarin een meting alle relevante aspecten van het construct dekt, meestal beoordeeld door deskundigen.

Antwoord

D · Inhoudsvaliditeit

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Dat veel gepubliceerde bevindingen niet reproduceren in nieuwe studies

Waarom dit het antwoord is

Grote replicatieprojecten vonden veel effecten kleiner of afwezig, samenhangend met publicatiebias, kleine steekproeven en flexibele analyses. Preregistratie is een van de antwoorden.

Antwoord

D · Dat veel gepubliceerde bevindingen niet reproduceren in nieuwe studies

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 13,78

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 222/6 = 37

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−10)² + (−12)² + 12² + (−15)² + 9² + 16² = 950

Standaardafwijking

s = √(950/5) = 13,78

Antwoord

s = 13,78

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 0,6

Standaardiseren

z = (103 − 100)/5 = 0,6

Antwoord

z = 0,6

5.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 1,247

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,25 + 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,25 = 1,55

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,25 = 3,65

Variantie

Var(X) = 3,65 − 1,55² = 1,247

Antwoord

Var(X) = 1,247

6.Kansrekening

Antwoord: E(G) = −2,5 €

Netto-uitkomsten

G: 5 (p = 0,15), 45 (p = 0,02), −5 (p = 0,83)

Verwachtingswaarde

E(G) = 5·0,15 + 45·0,02 − 5·0,83 = −2,5 €

Antwoord

E(G) = −2,5 €

Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,6309

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (247,5 − 250)/5 = −0,5

z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,55) − Φ(−0,5) = 0,9394 − 0,3085 = 0,6309

Antwoord

P = 0,6309

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 24,31 min

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Terug naar x

x = 32 + −1,282·6 = 24,31 min

Antwoord

x = 24,31 min

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 4,496 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 7, t = 1,895

Foutmarge

E = 1,895·1,2/√8 = 0,804

Interval

5,3 ± 0,804 → [4,496, 6,104]

Antwoord

ondergrens = 4,496 mmHg

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 2,191 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 19·1,5² = 42,75

Grenzen voor σ²

42,75/32,852 = 1,301

42,75/8,907 = 4,8

Grens voor σ

σ = √4,8 = 2,191 µm

Antwoord

σ = 2,191 µm

95%-interval voor σ: [1,141, 2,191] µm.

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 2,103

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 4/√10 = 1,265

Toetsingsgrootheid

t = 2,66/1,265 = 2,103

Antwoord

t = 2,103

Bij df = 9 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,262; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −0,8178

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Steekproeffracties

p̂₁ = 12/80 = 0,15

p̂₂ = 29/150 = 0,1933

p̂ = 41/230 = 0,1783

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,1783·0,8217·(1/80 + 1/150)) = 0,05299

Toetsingsgrootheid

z = (0,15 − 0,1933)/0,05299 = −0,8178

Antwoord

z = −0,8178

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9966

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 370/6 = 61,67

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 262

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 987,3

Correlatiecoëfficiënt

r = 262/√(70·987,3) = 0,9966

Antwoord

r = 0,9966

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 65,33

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 392/6 = 65,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118

Regressielijn

b = 118/17,5 = 6,743

a = 65,33 − 6,743·3,5 = 41,73

ŷ = 41,73 + 6,743·x

Voorspelling

ŷ = 41,73 + 6,743·3,5 = 65,33

Antwoord

ŷ = 65,33

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 0,1667

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

nieuw geneesmiddel: 40·50/100 = 20, 40·50/100 = 20

placebo: 60·50/100 = 30, 60·50/100 = 30

Chikwadraatgrootheid

χ² = (19 − 20)²/20 + (21 − 20)²/20 + (31 − 30)²/30 + (29 − 30)²/30

χ² = 0,1667

Antwoord

χ² = 0,1667

df = 1. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 3,841, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt niet verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: df = 6

Vrijheidsgraden

df = 7 − 1 = 6

Antwoord

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology