Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Een onderzoek dat alleen met Amerikaanse bachelorstudenten is uitgevoerd, kan tekortschieten in:

AInhoudsvaliditeit
BInterbeoordelaarsbetrouwbaarheid
CPopulatievaliditeit
DInterne consistentie

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een psychologiefaculteit werft deelnemers alleen uit inleidende psychologievakken. Critici zeggen dat de steekproeven "WEIRD" zijn. Waar verwijst dit naar?

AWestern, Educated, Industrialised, Rich and Democratic steekproeven die misschien niet generaliseren
BSteekproeven die zich ongewoon vreemd gedragen
CSteekproeven die met gewogen aselecte methoden zijn geworven
DSteekproeven die vroeg uit onderzoeken stappen

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 29, 54, 33, 27, 10, 12.

n = 6

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt boven 60?

μ = 50σ = 10x = 60

P =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

Var(X) =

6.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €5 inzet. Je wint €20 met kans 0,2 en €100 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €5€20: p = 0,2€100: p = 0,02

E(G) = €

7.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,3899 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,3899

z =

8.Normale verdelingMoeilijk

Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,02 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.

gat: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 8 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −3,3 en standaardafwijking 4,5. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 8d̄ = −3,3s_d = 4,599%t(7) = 3,499

ondergrens = mmHg

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 9 proefvelden, gemiddelde opbrengst 12,5 kg, standaardafwijking 6,5 kg. Groep 2: 5 proefvelden, gemiddelde 18,5 kg, standaardafwijking 3 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 12,5s₁ = 6,5n₂ = 5x̄₂ = 18,5s₂ = 399%t(12) = 3,055

bovengrens = kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 5 studenten, gemiddelde score 32,5, standaardafwijking 3,5. Groep 2: 21 studenten, gemiddelde score 37,3, standaardafwijking 9,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 5x̄₁ = 32,5s₁ = 3,5n₂ = 21x̄₂ = 37,3s₂ = 9,5

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2,5 heeft? De standaardafwijking is 8. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 8E = 2,599%

n =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 105Σy = 311Σx² = 2245Σy² = 19891Σxy = 6677

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (4, 39) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(4, 39)

e =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 1402 × 3

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Een chikwadraat-aanpassingstoets vergelijkt waargenomen aantallen in 4 categorieën met volledig gespecificeerde verwachte verhoudingen (er worden geen parameters uit de data geschat). Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?

k = 4

df =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Populatievaliditeit

Waarom dit het antwoord is

Populatievaliditeit is een vorm van externe validiteit. Steekproeven die vooral jong, westers en hoogopgeleid zijn, vertegenwoordigen andere mensen misschien niet.

Antwoord

C · Populatievaliditeit

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · Western, Educated, Industrialised, Rich and Democratic steekproeven die misschien niet generaliseren

Waarom dit het antwoord is

Henrich en collega's merkten op dat de meeste deelnemers aan psychologisch onderzoek uit WEIRD-samenlevingen komen, die niet representatief zijn voor de mensheid, wat de populatievaliditeit bedreigt.

Antwoord

A · Western, Educated, Industrialised, Rich and Democratic steekproeven die misschien niet generaliseren

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 16,01

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 165/6 = 27,5

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 1,5² + 26,5² + 5,5² + (−0,5)² + (−17,5)² + (−15,5)² = 1282

Standaardafwijking

s = √(1282/5) = 16,01

Antwoord

s = 16,01

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,1587

Standaardiseren

z = 1

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Antwoord

P = 0,1587

5.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 0,7

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Variantie

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

Antwoord

Var(X) = 0,7

6.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 1 €

Netto-uitkomsten

G: 15 (p = 0,2), 95 (p = 0,02), −5 (p = 0,78)

Verwachtingswaarde

E(G) = 15·0,2 + 95·0,02 − 5·0,78 = 1 €

Antwoord

E(G) = 1 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

7.Normale verdeling

Antwoord: z = 0,51

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,3899)/2 = 0,6950

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,6950 in de tabel en lees z af.

z = 0,51

Antwoord

z = 0,51

8.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,8665

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het verschil

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm

Standaardiseren

z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11

Kansrekening

P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665

Antwoord

P = 0,8665

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −8,867 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 7, t = 3,499

Foutmarge

E = 3,499·4,5/√8 = 5,567

Interval

−3,3 ± 5,567 → [−8,867, 2,267]

Antwoord

ondergrens = −8,867 mmHg

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 3,513 kg

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (8·6,5² + 4·3²)/12 = 31,17

s_p = 5,583

Foutmarge

E = 3,055·5,583·√(1/9 + 1/5) = 9,513

Interval

−6 ± 9,513 → [−15,51, 3,513]

Antwoord

bovengrens = 3,513 kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −1,097

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (4·3,5² + 20·9,5²)/24 = 77,25

s_p = 8,789

Standaardfout

SE = 8,789·√(1/5 + 1/21) = 4,374

Toetsingsgrootheid

t = (32,5 − 37,3)/4,374 = −1,097

Antwoord

t = −1,097

Bij df = 24 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,064; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 68

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (2,576·8/2,5)² = 67,95

Naar boven afronden

n = 68

Antwoord

n = 68

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9872

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 6677 − 105·311/5 = 146

S_xx = 2245 − 105²/5 = 40

S_yy = 19891 − 311²/5 = 546,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 146/√(40·546,8) = 0,9872

Antwoord

r = 0,9872

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −4,019

Gemiddelden

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 314/6 = 52,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 326

Regressielijn

b = 326/70 = 4,657

a = 52,33 − 4,657·6 = 24,39

ŷ = 24,39 + 4,657·x

Voorspelde waarde

ŷ = 24,39 + 4,657·4 = 43,02

Residu

e = 39 − 43,02 = −4,019

Antwoord

e = −4,019

Het punt ligt onder de lijn.

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 6,504

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

dagdienst: 100·42/140 = 30, 100·42/140 = 30, 100·56/140 = 40

nachtdienst: 40·42/140 = 12, 40·42/140 = 12, 40·56/140 = 16

Chikwadraatgrootheid

χ² = (29 − 30)²/30 + (36 − 30)²/30 + (35 − 40)²/40 + (13 − 12)²/12 + (6 − 12)²/12 + (21 − 16)²/16

χ² = 6,504

Antwoord

χ² = 6,504

df = 2. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 5,991, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: df = 3

Vrijheidsgraden

df = 4 − 1 = 3

Antwoord

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology