Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde
x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan
middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score
z = (x − μ)/σ
Normale verdeling
68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement
P(not A) = 1 − P(A)
Somregel
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normale verdeling

z-score
z = (x − μ)/σ
Onder x
P(X < x) = Φ(z)
Boven x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentiel
x = μ + z·σ

Methode

  1. Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
  2. Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
  3. Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
  4. Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

  1. Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
  2. Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
  3. Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
  4. Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n

Methode

  1. Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
  2. Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
  3. Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
  4. Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling
b = Sxy/Sxx
Snijpunt met de y-as
a = ȳ − b·x̄
Correlatie
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid
χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing
verwerp H0 als χ² > χ²crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Welke toets is geschikt om de gemiddelden van twee onafhankelijke groepen met ongeveer normaal verdeelde intervaldata te vergelijken?

  1. AChikwadraattoets
  2. BPearson-correlatie
  3. CWilcoxon-rangtekentoets
  4. Dt-toets voor onafhankelijke steekproeven
2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een psychologiefaculteit werft deelnemers alleen uit inleidende psychologievakken. Critici zeggen dat de steekproeven "WEIRD" zijn. Waar verwijst dit naar?

  1. AWestern, Educated, Industrialised, Rich and Democratic steekproeven die misschien niet generaliseren
  2. BSteekproeven die zich ongewoon vreemd gedragen
  3. CSteekproeven die vroeg uit onderzoeken stappen
  4. DSteekproeven die met gewogen aselecte methoden zijn geworven
3.Beschrijvende statistiekGemiddeld
2530354045

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 33, 43, 49, 24, 27, 28.

n = 6
s =
4.Beschrijvende statistiekMoeilijk
z −2−1012

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 5. Welk deel P van de waarden ligt onder 63?

μ = 60σ = 5x = 63
P =
5.KansrekeningGemiddeld
P(minstens één zes) = ??1?2?3?4?5?6?7?8P(zes) = 1/6 bij elke worp

Er wordt 8 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?

n = 8
P =
6.KansrekeningMoeilijk
n = 12, p = 0,3: P(X ≤ 1) = ?k0123456789101112

Er worden 12 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,3. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 12p = 0,3
P =
7.Normale verdelingGemiddeld
62,567P = ?

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Welk deel ligt tussen 62,5 en 67 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 65σ = 10x1 = 62,5x2 = 67
P =
8.Normale verdelingMoeilijk
157164171178185192199cmboven 20%

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 20% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm20%
x = cm
9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
n = 12, s = 12,5LU = ?x̄ = 103,5E99%

Een steekproef van 12 items heeft gemiddelde 103,5 en standaardafwijking s = 12,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 12x̄ = 103,5s = 12,599%t(11) = 3,106
bovengrens =
10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
μ₁ − μ₂, t(10) = 1,8120LUx̄₁ − x̄₂E = ?90%

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 7 proefvelden, gemiddelde opbrengst 52 kg, standaardafwijking 7 kg. Groep 2: 5 proefvelden, gemiddelde 55 kg, standaardafwijking 7 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de foutmarge E van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 52s₁ = 7n₂ = 5x̄₂ = 55s₂ = 790%t(10) = 1,812
E = kg
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
−1,961,96z = ?

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 100 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 52,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 12 mm. Lijn 2: een steekproef van 80 onderdelen heeft gemiddelde 48,4 mm, bekende standaardafwijking 14 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 100x̄₁ = 52,5 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 80x̄₂ = 48,4 mmσ₂ = 14 mm
z =
12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
μ₀x̄c

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 500 tegen H₁: μ > 500 wordt uitgevoerd bij α = 0,01 met een steekproef van 100; de standaardafwijking is bekend en is 10. In werkelijkheid is het gemiddelde 502,2. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.

μ₀ = 500μ = 502,2σ = 10n = 100α = 0,01
β = %
13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
xy2454476578631063xy5105060

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 30Σy = 275Σx² = 220Σy² = 15421Σxy = 1754
r =
14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
xy124224323419516xy2420x = 1,5

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 1,5.

n = 5x = 1,5
ŷ =
15.ChikwadraattoetsenGemiddeld
geen defectkleingrootTotaaldagdienst14303680nachtdienst165054120Totaal308090200

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 2002 × 3
χ² =
16.ChikwadraattoetsenMoeilijk
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Een chikwadraat-aanpassingstoets vergelijkt waargenomen aantallen in 3 categorieën met volledig gespecificeerde verwachte verhoudingen (er worden geen parameters uit de data geschat). Zoek met de tabel de kritieke waarde χ²crit bij significantieniveau α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · t-toets voor onafhankelijke steekproeven

Waarom dit het antwoord is

De t-toets voor onafhankelijke steekproeven vergelijkt twee groepsgemiddelden. Chikwadraat is voor frequenties; Wilcoxon voor gepaarde steekproeven met non-parametrische data.

Antwoord

D · t-toets voor onafhankelijke steekproeven
2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · Western, Educated, Industrialised, Rich and Democratic steekproeven die misschien niet generaliseren

Waarom dit het antwoord is

Henrich en collega's merkten op dat de meeste deelnemers aan psychologisch onderzoek uit WEIRD-samenlevingen komen, die niet representatief zijn voor de mensheid, wat de populatievaliditeit bedreigt.

Antwoord

A · Western, Educated, Industrialised, Rich and Democratic steekproeven die misschien niet generaliseren
3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 9,92

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 204/6 = 34

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−1)² + 9² + 15² + (−10)² + (−7)² + (−6)² = 492

Standaardafwijking

s = √(492/5) = 9,92

Antwoord

s = 9,92
4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,7257

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Standaardiseren

z = 0,6

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257

Antwoord

P = 0,7257
5.Kansrekening

Antwoord: P = 0,7674

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complement

P(geen zes) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Antwoord

P = 0,7674
6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,08503

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,712 = 0,01384
P(X = 1) = 12·0,3·0,711 = 0,07118

Tel ze op

P = 0,01384 + 0,07118 = 0,08503

Antwoord

P = 0,08503
7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,178

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (62,5 − 65)/10 = −0,25
z₂ = (67 − 65)/10 = 0,2

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,2) − Φ(−0,25) = 0,5793 − 0,4013 = 0,178

Antwoord

P = 0,178
8.Normale verdeling

Antwoord: x = 183,9 cm

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,8

z uit de tabel

z ≈ 0,84

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 + 0,84·7 = 183,9 cm

Antwoord

x = 183,9 cm
9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 114,7

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Foutmarge

E = 3,106·12,5/√12 = 11,21

Interval

103,5 ± 11,21 → [92,29, 114,7]

Antwoord

bovengrens = 114,7
10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 7,427 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

sp² = (6·7² + 4·7²)/10 = 49
sp = 7

Foutmarge

E = 1,812·7·√(1/7 + 1/5) = 7,427

Antwoord

E = 7,427 kg
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 2,079

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(12²/100 + 14²/80) = √3,89 = 1,972

Toetsingsgrootheid

z = (52,5 − 48,4)/1,972 = 2,079

Antwoord

z = 2,079

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: β = 55,01 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 10/√100 = 1
x̄c = 500 + 2,326·1 = 502,3

z onder het ware gemiddelde

z = (502,3 − 502,2)/1 = 0,126

Fout van de tweede soort

onderscheidend vermogen = P(Z > 0,126) = 44,99%
β = 100% − 44,99% = 55,01%

Antwoord

β = 55,01%
13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9558

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

Sxy = 1754 − 30·275/5 = 104
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 15421 − 275²/5 = 296

Correlatiecoëfficiënt

r = 104/√(40·296) = 0,9558

Antwoord

r = 0,9558
14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 24,35

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 106/5 = 21,2

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21

Regressielijn

b = −21/10 = −2,1
a = 21,2 − (−2,1)·3 = 27,5
ŷ = 27,5 − 2,1·x

Voorspelling

ŷ = 27,5 + (−2,1)·1,5 = 24,35

Antwoord

ŷ = 24,35
15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 0,7639

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

dagdienst: 80·30/200 = 12, 80·80/200 = 32, 80·90/200 = 36
nachtdienst: 120·30/200 = 18, 120·80/200 = 48, 120·90/200 = 54

Chikwadraatgrootheid

χ² = (14 − 12)²/12 + (30 − 32)²/32 + (36 − 36)²/36 + (16 − 18)²/18 + (50 − 48)²/48 + (54 − 54)²/54
χ² = 0,7639

Antwoord

χ² = 0,7639

df = 2. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 5,991, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt niet verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ²crit = 5,991

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Vrijheidsgraden

df = 3 − 1 = 2

Tabel

χ²crit(df = 2, α = 0,05) = 5,991

Antwoord

χ²crit = 5,991

Verwerp H₀ als de berekende χ² groter is dan deze waarde.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology