Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Een onderzoeker stuurt een vragenlijst naar alle studenten en vraagt respondenten daarna vrienden te werven die ook een zeldzame slaapapp gebruiken. Welke steekproefmethode wordt bij de tweede stap gebruikt?

ASystematische steekproef
BGestratificeerde steekproef
CAselecte steekproef
DSneeuwbalsteekproef

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een onderzoeker wil toetsen of een nieuwe onderwijsmethode betere cijfers veroorzaakt, maar kan studenten niet randomiseren. Welk design geeft in deze situatie het sterkste causale bewijs?

AAlleen de klas met de nieuwe methode na het onderwijs meten
BCijfers correleren met hoe aardig studenten de docent vinden
CStudenten vragen of ze denken dat de methode werkte
DGematchte klassen voor en na meten, met een vergelijkingsgroep

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 23, 60, 36, 50, 20, 13, 18.

n = 7

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 8. Bereken de z-score z van een score van 60.

μ = 50σ = 8x = 60

z =

5.KansrekeningGemiddeld

Een zak bevat 6 rode en 8 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

6 / 8

P =

6.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 7 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,7. Wat is de kans P op precies 5 goede antwoorden?

n = 7p = 0,7k = 5

P =

7.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,9798 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,9798

z =

8.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 75% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm75%

x = cm

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 30 items heeft gemiddelde 120 en standaardafwijking s = 2. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 30x̄ = 120s = 299%t(29) = 2,756

E =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 11 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 0,6 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 10 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 3,247 en 2,5% boven 20,483.

n = 11s = 0,6 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 49 studenten heeft een gemiddelde score van 201,7 en een steekproefstandaardafwijking van 10. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201,7s = 10n = 49

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 100 metingen heeft gemiddelde 499,9. De standaardafwijking van de populatie is 8. Bereken de ondergrens L van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 499,9σ = 8n = 10099%

L =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5

r² =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3, 47) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(3, 47)

e =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “landelijk, middel”.

rijtotaal = 73kolomtotaal = 69N = 171

E =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Er wordt een chikwadraattoets op onafhankelijkheid uitgevoerd op een kruistabel met 2 rijen en 6 kolommen (de totalen niet meegeteld). Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?

2 × 6

df =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Sneeuwbalsteekproef

Waarom dit het antwoord is

Een sneeuwbalsteekproef is nuttig voor moeilijk bereikbare groepen, maar de steekproef deelt waarschijnlijk kenmerken en is niet representatief.

Antwoord

D · Sneeuwbalsteekproef

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Gematchte klassen voor en na meten, met een vergelijkingsgroep

Waarom dit het antwoord is

Een voormeting-nameting-design met niet-equivalente groepen controleert voor beginverschillen en voor verandering in de tijd, hoewel het zwakker is dan een gerandomiseerd experiment.

Antwoord

D · Gematchte klassen voor en na meten, met een vergelijkingsgroep

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 17,81

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 220/7 = 31,43

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−8,429)² + 28,57² + 4,571² + 18,57² + (−11,43)² + (−18,43)² + (−13,43)² = 1904

Standaardafwijking

s = √(1904/6) = 17,81

Antwoord

s = 17,81

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 1,25

Standaardiseren

z = (60 − 50)/8 = 1,25

Antwoord

z = 1,25

5.Kansrekening

Antwoord: P = 0,1648

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 6/14 · 5/13 = 30/182 = 0,1648

Antwoord

P = 0,1648

6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,3177

Binomiale formule

P(X = 5) = 21·0,7⁵·0,3² = 21·0,1681·0,09 = 0,3177

Antwoord

P = 0,3177

7.Normale verdeling

Antwoord: z = −2,05

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,9798 = 0,0202

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,0202 in de tabel en lees z af.

z = −2,05

Antwoord

z = −2,05

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 173,3 cm

Oppervlak links

Φ(z) = 0,25

z uit de tabel

z ≈ −0,67

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 − 0,67·7 = 173,3 cm

Antwoord

x = 173,3 cm

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 1,006

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Foutmarge

E = 2,756·2/√30 = 1,006

Antwoord

E = 1,006

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 0,4192 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 10·0,6² = 3,6

Grenzen voor σ²

3,6/20,483 = 0,1758

3,6/3,247 = 1,109

Grens voor σ

σ = √0,1758 = 0,4192 µm

Antwoord

σ = 0,4192 µm

95%-interval voor σ: [0,4192, 1,053] µm.

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,19

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429

Toetsingsgrootheid

t = (201,7 − 200)/1,429 = 1,19

Antwoord

t = 1,19

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 497,8

Foutmarge

E = 2,576·8/√100 = 2,061

Intervalgrens

L = 499,9 − 2,061 = 497,8

Antwoord

L = 497,8

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,1731

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 296/5 = 59,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 9

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 46,8

Determinatiecoëfficiënt

r² = 9²/(10·46,8) = 0,1731

Antwoord

r² = 0,1731

Ongeveer 17,31% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 1,85

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 291/5 = 58,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 174

Regressielijn

b = 174/40 = 4,35

a = 58,2 − 4,35·6 = 32,1

ŷ = 32,1 + 4,35·x

Voorspelde waarde

ŷ = 32,1 + 4,35·3 = 45,15

Residu

e = 47 − 45,15 = 1,85

Antwoord

e = 1,85

Het punt ligt boven de lijn.

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 29,46

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 73·69/171 = 29,46

Antwoord

E = 29,46

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: df = 5

Vrijheidsgraden

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

Antwoord

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology